Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность алгоритма Беллмана–Форда на графе с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V³ × E)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о P и NP верно?

  1. AРешения задач NP невозможно быстро проверить
  2. BКаждая задача из P также принадлежит NP
  3. CДоказано, что P ≠ NP
  4. DNP означает «неполиномиальный» (not polynomial)
3.Структуры данныхСредняя

Какая структура данных используется, чтобы проверить, сбалансированы ли скобки в «{[()]}»?

  1. AОчередь
  2. BСтек
  3. CХеш-таблица
  4. DДвоичное дерево поиска
4.Структуры данныхСложная

Какую проблему линейного пробирования в основном уменьшает двойное хеширование?

  1. AПервичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
  2. BСтоимость O(n) чтения значения по ключу
  3. CНеобходимость хранить ключи в таблице
  4. DНеобходимость в хеш-функции
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K4
H =
6.Теория графовСложная
171418820311615419ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(V × E)

Почему это ответ

Каждый из V − 1 раундов релаксирует все E рёбер, что даёт O(VE); зато он работает с отрицательными весами рёбер.

Ответ

C · O(V × E)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Каждая задача из P также принадлежит NP

Почему это ответ

P ⊆ NP: если Вы можете быстро решить задачу, то можете и быстро проверить решение. Вопрос о том, верно ли P = NP, по-прежнему открыт.

Ответ

B · Каждая задача из P также принадлежит NP
3.Структуры данных

Ответ: B · Стек

Почему это ответ

Каждую открывающую скобку помещают в стек (push), а при появлении закрывающей извлекают (pop); она должна соответствовать извлечённой, а в конце стек должен быть пуст.

Ответ

B · Стек
4.Структуры данных

Ответ: A · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек

Почему это ответ

Линейное пробирование делает шаг 1, поэтому серии занятых ячеек растут и сливаются; двойное хеширование использует второй хеш для размера шага, так что разные ключи проходят разные последовательности.

Ответ

A · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
5.Теория графов

Ответ: H = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Ответ

H = 3
6.Теория графов

Ответ: W = 46

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

EF (1): берём
DF (3): берём
GD (4): берём
CE (8): берём
AC (14): берём
GC (15): пропускаем, замыкает цикл
GB (16): берём

Суммарный вес

W = 1 + 3 + 4 + 8 + 14 + 16 = 46

Ответ

W = 46

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms