Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Решением рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + O(n) является:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как алгоритм Беллмана–Форда обнаруживает цикл отрицательного веса, достижимый из источника?

  1. AПосле V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
  2. BОн проверяет, есть ли ребро с отрицательным весом
  3. CОн подсчитывает циклы поиском в глубину
  4. DОн дважды запускает алгоритм Дейкстры и сравнивает два полученных результата расстояний
3.Структуры данныхСредняя

Какой метод разрешения коллизий хранит конфликтующие ключи в списке в той же корзине?

  1. AКвадратичное пробирование
  2. BДвойное хеширование
  3. CЛинейное пробирование
  4. DМетод цепочек (separate chaining)
4.Структуры данныхСложная

Для чего используется структура union-find в алгоритме Краскала построения минимального остовного дерева?

  1. AДля выбора начальной вершины
  2. BДля сортировки рёбер по весу
  3. CДля хранения текущего расстояния каждой вершины от источника во время обхода
  4. DДля проверки, соединены ли уже два конца ребра
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K8? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K8
H =
6.Теория графовСложная
914781161819ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n log n)

Почему это ответ

По основной теореме о рекуррентных соотношениях (master theorem) при a = 2, b = 2, f(n) = n получаем T(n) = Θ(n log n).

Ответ

C · O(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро

Почему это ответ

Все истинные кратчайшие расстояния находятся за V − 1 раундов; если ребро ещё можно улучшить, значит, существует отрицательный цикл.

Ответ

A · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
3.Структуры данных

Ответ: D · Метод цепочек (separate chaining)

Почему это ответ

Метод цепочек хранит для каждой корзины связный список (или другую структуру); открытая адресация ищет другую свободную ячейку в самой таблице.

Ответ

D · Метод цепочек (separate chaining)
4.Структуры данных

Ответ: D · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра

Почему это ответ

Find показывает, лежат ли оба конца в одной компоненте; если нет, ребро добавляется, а union объединяет компоненты.

Ответ

D · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра
5.Теория графов

Ответ: H = 2520

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Ответ

H = 2520
6.Теория графов

Ответ: W = 48

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DE (6): берём
BC (7): берём
BD (8): берём
AB (9): берём
CE (11): пропускаем, замыкает цикл
AC (14): пропускаем, замыкает цикл
DF (18): берём

Суммарный вес

W = 6 + 7 + 8 + 9 + 18 = 48

Ответ

W = 48

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms