Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Верно ли утверждать, что алгоритм O(n²) также является O(n³)?

AНет, потому что O большое всегда должно указывать точную скорость роста функции
BДа, потому что O большое — верхняя граница, а n² растёт не быстрее n³
CНет, потому что при больших n значение n³ меньше n²
DДа, но только если n меньше 100

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Алгоритм Штрассена умножает матрицы, используя 7 вместо 8 рекурсивных умножений блоков половинного размера. Каково время его работы?

AΘ(n² log n)
BΘ(n³)
CΘ(n²)
DΘ(n^{log₂ 7}), примерно n^2,81

3.Структуры данныхСредняя

Какова временная сложность поиска ключа в сбалансированном двоичном дереве поиска?

AO(n)
BO(1)
CO(log n)
DO(n log n)

4.Структуры данныхСложная

Какое свойство поддерживает любое B-дерево идеально сбалансированным?

AКаждый узел хранит один ключ
BКлючи хранятся только в корне
CВсе листья находятся на одной глубине
DУ каждого узла ровно два потомка

5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 10 вершин и 18 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 10|E| = 18

k =

6.Теория графовСложная

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F

d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Да, потому что O большое — верхняя граница, а n² растёт не быстрее n³

Почему это ответ

O большое — верхняя граница, поэтому утверждение верно, но не точно; Θ(n²) указывает точную скорость роста.

Ответ

B · Да, потому что O большое — верхняя граница, а n² растёт не быстрее n³

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Θ(n^{log₂ 7}), примерно n^2,81

Почему это ответ

При a = 7 и b = 2 член n^{log₂ 7} доминирует над работой сложения O(n²), что даёт примерно n^2,81.

Ответ

D · Θ(n^{log₂ 7}), примерно n^2,81

3.Структуры данных

Ответ: C · O(log n)

Почему это ответ

Сбалансированное дерево имеет высоту около log₂ n, поэтому поиск проходит по одному пути от корня до листа.

Ответ

C · O(log n)

4.Структуры данных

Ответ: C · Все листья находятся на одной глубине

Почему это ответ

Заполненные узлы расщепляются вверх, а дерево становится выше только при расщеплении корня, поэтому все листья всегда остаются на одном уровне.

Ответ

C · Все листья находятся на одной глубине

5.Теория графов

Ответ: k = 9

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

10 − 1 = 9

Рёбра для удаления

k = 18 − 9 = 9

Ответ

k = 9

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 32

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 1, C: 13

B (1)

C (13): E: 23, G: 22

G (22): D: 23

D (23): F: 32

E (23)

F (32)

Кратчайший путь

A → C → G → D → F

d(F) = 32

Ответ

d(F) = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms