Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Примерно сколько сравнений нужно бинарному поиску в худшем случае на отсортированном массиве из 1,000,000 элементов?

  1. AОколо 20
  2. BОколо 100
  3. CОколо 1,000
  4. DОколо 500,000
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какова временная сложность построения двоичной кучи из n неотсортированных элементов восходящим методом (bottom-up)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.Структуры данныхСредняя

У узла двоичного дерева поиска есть правое поддерево. Где находится его in-order преемник?

  1. AВсегда его правый потомок
  2. BСамый правый узел его левого поддерева
  3. CВсегда его родитель
  4. DСамый левый узел его правого поддерева
4.Структуры данныхСложная

Для каждого элемента массива нужно найти следующий больший элемент справа за общее время O(n). Какая структура поможет?

  1. AСтек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа
  2. BХеш-таблица всех элементов
  3. CДвоичное дерево поиска, перестраиваемое для каждого элемента
  4. DОчередь, хранящая каждую пару элементов
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 4 вершин степени 5, 4 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 34 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
114121210123ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Около 20

Почему это ответ

220 ≈ 1,048,576, поэтому примерно после 20 делений пополам остаётся один элемент.

Ответ

A · Около 20
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

Сумма затрат на просеивание вниз (sift-down) по всем уровням даёт сходящийся ряд, поэтому построение кучи (heapify) выполняется за линейное время.

Ответ

A · O(n)
3.Структуры данных

Ответ: D · Самый левый узел его правого поддерева

Почему это ответ

Все ближайшие большие ключи находятся в правом поддереве узла, а наименьший из них — самый левый узел там.

Ответ

D · Самый левый узел его правого поддерева
4.Структуры данных

Ответ: A · Стек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа

Почему это ответ

При проходе слева направо извлекают все элементы стека, меньшие текущего (текущий элемент — их ответ), затем помещают текущий; каждый элемент перемещается не более двух раз.

Ответ

A · Стек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа
5.Теория графов

Ответ: L = 18

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 40 = 2(L + 12) − 2
L = 18

Ответ

L = 18

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: C

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 1, C: 14
2. B (1): C: 2, D: 3, E: 4
3. C (2)
4. D (3): F: 13
5. E (4)
6. F (13)

шаг 3

C

Ответ

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms