Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему динамическое программирование не даёт реального ускорения для сортировки слиянием?

  1. AДинамическое программирование работает только на задачах о графах, но не на массивах
  2. BСортировка слиянием уже работает за O(n)
  3. CЕё подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
  4. DУ сортировки слиянием нет рекурсивной структуры
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса P верно?

  1. AЗадачи, требующие экспоненциального времени на любом компьютере
  2. BЗадачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
  3. CЗадачи, решения которых можно проверить, но никогда не найти за полиномиальное время
  4. DЗадачи, которые можно решать параллельно
3.Структуры данныхСредняя

Какова стоимость вставки элемента в середину массива из n элементов?

  1. AO(log n) из-за двоичного поиска
  2. BO(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
  3. CO(1), потому что индекс известен
  4. DO(n²), потому что каждый элемент сдвигается n раз
4.Структуры данныхСложная

Почему из стандартного фильтра Блума нельзя просто удалить элементы, обнулив их биты?

  1. AБиты фильтра Блума нельзя менять после создания
  2. BЭти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
  3. CФильтры Блума хранят элементы целиком, и их невозможно снова найти после хеширования
  4. DУдаление повысило бы долю ложноположительных результатов до 100%
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 3, 2 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 32 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
320131281916157ABCDEFG

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 5; пропущенные рёбра не считаются.

k = 5
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро GB
  8. 8ребро GC
  9. 9ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно

Почему это ответ

Половины в сортировке слиянием не пересекаются, и каждая решается один раз; ДП помогает только при повторяющихся подзадачах, как в числах Фибоначчи.

Ответ

C · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время

Почему это ответ

P содержит задачи распознавания с детерминированным полиномиальным алгоритмом, например проверку связности графа.

Ответ

B · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: B · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть

Почему это ответ

Все элементы после места вставки сдвигаются на одну позицию вправо, что занимает время, пропорциональное n.

Ответ

B · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
4.Структуры данных

Ответ: B · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты

Почему это ответ

Обнуление общего бита сделало бы другой элемент якобы отсутствующим; считающие фильтры Блума (counting Bloom filters) хранят счётчики вместо битов, чтобы разрешить удаление.

Ответ

B · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
5.Теория графов

Ответ: L = 10

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Ответ

L = 10

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: ребро BC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. AB (3)
2. GE (7)
3. DE (8)
4. CE (12)
5. BC (13)
6. DF (19)

номер ребра 5

BC

Ответ

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms