Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Функция выполняет один цикл из n итераций, а затем, отдельно, ещё один цикл из n итераций. Какова её временна́я сложность?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каковы затраты времени и памяти при вычислении n-го числа Фибоначчи циклом, хранящим только два последних значения?

  1. AO(n) времени и O(n) памяти
  2. BO(2ⁿ) времени и O(1) памяти
  3. CO(n) времени и O(1) памяти
  4. DO(log n) времени и O(n) памяти
3.Структуры данныхСредняя

Префиксное дерево (trie) особенно эффективно для:

  1. AПоиска по префиксу, например автодополнения
  2. BСортировки чисел
  3. CХранения матриц
  4. DПоиска кратчайших путей
4.Структуры данныхСложная

Удаление узла с двумя потомками из двоичного дерева поиска обычно выполняют так:

  1. AМеняют его местами с корнем
  2. BПерестраивают поддерево под ним с нуля и заново вставляют каждый содержавшийся в нём ключ
  3. CЗаменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
  4. DУдаляют всё поддерево
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 3, начинающихся и заканчивающихся в D? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 3
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

n + n = 2n, а постоянные множители отбрасываются, поэтому функция есть O(n).

Ответ

A · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n) времени и O(1) памяти

Почему это ответ

Каждому шагу нужны лишь два предыдущих значения, поэтому таблицу восходящего метода можно заменить двумя переменными.

Ответ

C · O(n) времени и O(1) памяти
3.Структуры данных

Ответ: A · Поиска по префиксу, например автодополнения

Почему это ответ

Trie хранит строки посимвольно вдоль путей, поэтому поиск и запросы по префиксу занимают время, пропорциональное длине ключа.

Ответ

A · Поиска по префиксу, например автодополнения
4.Структуры данных

Ответ: C · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел

Почему это ответ

У in-order преемника не более одного потомка, поэтому его легко удалить, скопировав его ключ в удаляемый узел.

Ответ

C · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ещё один шаг

(M³)DD = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 3·0 + 1·1 + 1·1 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms