Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая из этих задач выполнимости, как известно, решается за полиномиальное время?

  1. A3-SAT, где в каждом дизъюнкте ровно три литерала
  2. BОбщая SAT для формул в конъюнктивной нормальной форме
  3. CВыполнимость схем
  4. D2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов
3.Структуры данныхСредняя

Где в двоичной куче, хранящейся в массиве с индексацией от 0, находится родитель узла с индексом i?

  1. AВ индексе 2i + 1
  2. BВ индексе i − 1
  3. CВ индексе ⌊i / 2⌋ + 1
  4. DВ индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данныхСложная

Фильтр Блума может ответить на вопрос «принадлежит ли этот элемент множеству?»:

  1. AС возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
  2. BТолько для чисел
  3. CВсегда точно
  4. DС возможными ложноотрицательными, но без ложноположительных результатов
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K6? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K6
H =
6.Теория графовСложная
488419115ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(D) кратчайшего пути от A до D во взвешенном графе.

начало: Aконец: D
d(D) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n log n)

Почему это ответ

Внутренний цикл выполняется около log₂ n раз для каждой из n внешних итераций, что даёт O(n log n).

Ответ

D · O(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · 2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов

Почему это ответ

2-SAT лежит в P (линейное время через компоненты сильной связности), тогда как 3-SAT NP-полна.

Ответ

D · 2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов
3.Структуры данных

Ответ: D · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋

Почему это ответ

Потомки i находятся в 2i + 1 и 2i + 2, поэтому родитель i — в ⌊(i − 1) / 2⌋; при индексации с 1 это ⌊i / 2⌋.

Ответ

D · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данных

Ответ: A · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов

Почему это ответ

Если любой бит для элемента равен 0, элемента точно нет; если все равны 1, он, вероятно, есть. Фильтры Блума жертвуют точностью ради очень малого объёма памяти.

Ответ

A · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
5.Теория графов

Ответ: H = 60

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Ответ

H = 60
6.Теория графов

Ответ: d(D) = 9

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 4
C (4): B: 12, E: 8
E (8): D: 9, F: 19
D (9): F: 18
B (12)
F (18)

Кратчайший путь

A → C → E → D
d(D) = 9

Ответ

d(D) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms