Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(n)

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о выборе k-го наименьшего элемента неотсортированного массива верно?

AQuickselect работает за O(log n) в худшем случае, потому что рекурсия идёт только в одну сторону от опорного элемента
BВыбор всегда требует Ω(n log n), потому что нужна сортировка
CВыбор возможен только за O(n²)
DQuickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

3.Структуры данныхСредняя

Чему равно значение постфиксного выражения 3 4 + 2 * ?

4.Структуры данныхСложная

Какую гарантию дают правила красно-чёрного дерева относительно высоты дерева с n ключами?

AВысота равна ровно log₂ n
BВысота не превышает n / 2
CВысота не превышает log₂ n + 1
DВысота не превышает 2 log₂(n + 1)

5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K₆? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K₆

H =

6.Теория графовСложная

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8

W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

По основной теореме n^{log₂ 2} = n доминирует над постоянной работой, поэтому T(n) = Θ(n), как при поиске максимума делением пополам.

Ответ

D · O(n)

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

Почему это ответ

Ожидаемая работа quickselect со случайными опорными элементами n + n/2 + n/4 + ... = O(n); выбор опорного элемента как медианы медиан делает худший случай линейным.

Ответ

D · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

3.Структуры данных

Ответ: B · 14

Почему это ответ

Помещаем 3 и 4, + даёт 7; помещаем 2, * даёт 7 × 2 = 14.

Ответ

B · 14

4.Структуры данных

Ответ: D · Высота не превышает 2 log₂(n + 1)

Почему это ответ

На каждом пути одинаковое число чёрных узлов, а красные узлы не могут быть соседними, поэтому самый длинный путь не более чем вдвое длиннее самого короткого, что даёт высоту O(log n).

Ответ

D · Высота не превышает 2 log₂(n + 1)

5.Теория графов

Ответ: H = 60

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Ответ

H = 60

6.Теория графов

Ответ: W = 35

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BC (1): берём

DE (6): берём

EF (8): берём

BE (9): берём

DF (10): пропускаем, замыкает цикл

AC (11): берём

Суммарный вес

W = 1 + 6 + 8 + 9 + 11 = 35

Ответ

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms