Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность вычисления n-го числа Фибоначчи с помощью восходящей таблицы?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Для какого варианта задачи о рюкзаке жадное правило «брать предметы в порядке ценности на единицу веса» всегда даёт оптимальный ответ?

  1. AНи для одного варианта
  2. BДля обоих вариантов
  3. CДля непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
  4. DДля рюкзака 0/1, где предметы всегда нужно брать целиком
3.Структуры данныхСредняя

Что верно для матрицы смежности неориентированного графа?

  1. AНа её главной диагонали всегда стоят единицы
  2. BОна симметрична относительно главной диагонали
  3. CОна всегда верхнетреугольная
  4. DВ каждой строке ровно одна 1
4.Структуры данныхСложная

Какая структура позволяет вычислить максимум каждого окна размера k в массиве за общее время O(n)?

  1. AОдносвязный список элементов окна
  2. BДек, хранящий индексы в порядке убывания значений
  3. CОтсортированный массив, обновляемый сдвигами
  4. DMin-куча, перестраиваемая для каждого окна
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, 4 вершин степени 4, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
1131331176102131ABCDEFG

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 5; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

Заполнение таблицы от 0 до n требует одного сложения на элемент, поэтому работа линейна, а не экспоненциальна.

Ответ

C · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить

Почему это ответ

Когда предметы можно делить, выбор по лучшему отношению оптимален; в рюкзаке 0/1 предмет с высоким отношением может помешать лучшей комбинации, поэтому нужно динамическое программирование.

Ответ

C · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
3.Структуры данных

Ответ: B · Она симметрична относительно главной диагонали

Почему это ответ

В неориентированном графе ребро {u, v} означает, что установлены и M[u][v], и M[v][u], поэтому матрица равна своей транспонированной.

Ответ

B · Она симметрична относительно главной диагонали
4.Структуры данных

Ответ: B · Дек, хранящий индексы в порядке убывания значений

Почему это ответ

Начало дека всегда содержит максимум окна; каждый индекс входит в дек и покидает его один раз, поэтому работа линейна.

Ответ

B · Дек, хранящий индексы в порядке убывания значений
5.Теория графов

Ответ: L = 13

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 31 = 2(L + 10) − 2
L = 13

Ответ

L = 13

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: B

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 11, C: 3
2. C (3): G: 5
3. G (5): D: 18, E: 6
4. E (6): D: 17, F: 12
5. B (11): D: 14
6. F (12)
7. D (14)

шаг 5

B

Ответ

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms