Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм сортировки является устойчивым?

  1. AСортировка слиянием
  2. BПирамидальная сортировка
  3. CБыстрая сортировка (типичная версия на месте)
  4. DСортировка выбором (типичная версия)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса P верно?

  1. AЗадачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
  2. BЗадачи, требующие экспоненциального времени на любом компьютере
  3. CЗадачи, решения которых можно проверить, но никогда не найти за полиномиальное время
  4. DЗадачи, которые можно решать параллельно
3.Структуры данныхСредняя

У узла двоичного дерева поиска есть правое поддерево. Где находится его in-order преемник?

  1. AВсегда его правый потомок
  2. BСамый левый узел его правого поддерева
  3. CСамый правый узел его левого поддерева
  4. DВсегда его родитель
4.Структуры данныхСложная

Какая структура данных обеспечивает кэш LRU (least recently used) с операциями get и put за O(1)?

  1. AХеш-таблица в сочетании с двусвязным списком
  2. BОдин отсортированный массив
  3. CТолько двоичное дерево поиска
  4. DТолько стек
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 9 вершин и 12 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 9|E| = 12
k =
6.Теория графовСложная
75121091381265ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(E) кратчайшего пути от A до E во взвешенном графе.

начало: Aконец: E
d(E) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Сортировка слиянием

Почему это ответ

Сортировка слиянием устойчива, если при равных ключах во время слияния сначала берётся элемент из левой половины. Быстрая сортировка на месте, пирамидальная сортировка и сортировка выбором обычно неустойчивы.

Ответ

A · Сортировка слиянием
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время

Почему это ответ

P содержит задачи распознавания с детерминированным полиномиальным алгоритмом, например проверку связности графа.

Ответ

A · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: B · Самый левый узел его правого поддерева

Почему это ответ

Все ближайшие большие ключи находятся в правом поддереве узла, а наименьший из них — самый левый узел там.

Ответ

B · Самый левый узел его правого поддерева
4.Структуры данных

Ответ: A · Хеш-таблица в сочетании с двусвязным списком

Почему это ответ

Хеш-таблица находит узлы за O(1), а двусвязный список перемещает использованные элементы в начало и удаляет с конца за O(1).

Ответ

A · Хеш-таблица в сочетании с двусвязным списком
5.Теория графов

Ответ: k = 4

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

9 − 1 = 8

Рёбра для удаления

k = 12 − 8 = 4

Ответ

k = 4
6.Теория графов

Ответ: d(E) = 24

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 7, C: 5
C (5)
B (7): D: 17, G: 19
D (17): E: 26, F: 30
G (19): E: 24
E (24)
F (30)

Кратчайший путь

A → B → G → E
d(E) = 24

Ответ

d(E) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms