Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?

  1. AОснование имеет значение только при малых n
  2. BВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
  3. CЛогарифмы всегда округляются до целых
  4. DЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Для какого варианта задачи о рюкзаке жадное правило «брать предметы в порядке ценности на единицу веса» всегда даёт оптимальный ответ?

  1. AДля непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
  2. BНи для одного варианта
  3. CДля рюкзака 0/1, где предметы всегда нужно брать целиком
  4. DДля обоих вариантов
3.Структуры данныхСредняя

Почему обход массива на практике часто гораздо быстрее обхода связного списка той же длины?

  1. AМассивы требуют меньше инструкций для сравнения значений
  2. BСвязные списки всегда хранят элементы на диске
  3. CЭлементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора
  4. DОбход массива занимает в сумме O(1), а связного списка — O(n)
4.Структуры данныхСложная

Структура union-find (система непересекающихся множеств) с объединением по рангу и сжатием путей имеет амортизированную стоимость операции:

  1. AO(n)
  2. BРовно O(log n)
  3. CO(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
  4. DO(n²)
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 20 вершин и 30 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 20|E| = 30
k =
6.Теория графовСложная
11387172416ABCDEF

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины D. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 3.

начало: Dk = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем

Почему это ответ

Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.

Ответ

D · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить

Почему это ответ

Когда предметы можно делить, выбор по лучшему отношению оптимален; в рюкзаке 0/1 предмет с высоким отношением может помешать лучшей комбинации, поэтому нужно динамическое программирование.

Ответ

A · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
3.Структуры данных

Ответ: C · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора

Почему это ответ

Непрерывная память обеспечивает хорошую локальность обращений, а связанные узлы могут быть разбросаны и вызывать много промахов кэша.

Ответ

C · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора
4.Структуры данных

Ответ: C · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа

Почему это ответ

С обеими оптимизациями операции выполняются за амортизированное время O(α(n)); α(n) ≤ 4 для любого реалистичного n.

Ответ

C · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графов

Ответ: k = 11

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

20 − 1 = 19

Рёбра для удаления

k = 30 − 19 = 11

Ответ

k = 11
6.Теория графов

Ответ: ребро BD

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. DE (2)
2. DF (4)
3. BD (7)
4. BC (8)
5. AC (3)

номер ребра 3

BD

Ответ

ребро BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms