Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм находит кратчайшие пути из одного источника в графе с неотрицательными весами рёбер?

  1. AАлгоритм Краскала
  2. BВо всех случаях требуется алгоритм Беллмана–Форда
  3. CПоиск в глубину (DFS)
  4. DАлгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково время работы алгоритма Дейкстры с двоичной кучей на графе с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V³)
3.Структуры данныхСредняя

Где в двоичной куче, хранящейся в массиве с индексацией от 0, находится родитель узла с индексом i?

  1. AВ индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BВ индексе 2i + 1
  3. CВ индексе ⌊i / 2⌋ + 1
  4. DВ индексе i − 1
4.Структуры данныхСложная

Структура union-find (система непересекающихся множеств) с объединением по рангу и сжатием путей имеет амортизированную стоимость операции:

  1. AРовно O(log n)
  2. BO(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, 4 вершин степени 5, 4 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 33 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
61141337562614ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(E) кратчайшего пути от A до E во взвешенном графе.

начало: Aконец: E
d(E) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Алгоритм Дейкстры

Почему это ответ

Алгоритм Дейкстры работает с неотрицательными весами; алгоритм Беллмана–Форда допускает отрицательные веса; алгоритм Краскала строит минимальные остовные деревья.

Ответ

D · Алгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O((V + E) log V)

Почему это ответ

Выполняется V операций извлечения минимума и до E операций уменьшения ключа, каждая за O(log V); фибоначчиева куча улучшает это до O(E + V log V).

Ответ

C · O((V + E) log V)
3.Структуры данных

Ответ: A · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋

Почему это ответ

Потомки i находятся в 2i + 1 и 2i + 2, поэтому родитель i — в ⌊(i − 1) / 2⌋; при индексации с 1 это ⌊i / 2⌋.

Ответ

A · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данных

Ответ: B · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа

Почему это ответ

С обеими оптимизациями операции выполняются за амортизированное время O(α(n)); α(n) ≤ 4 для любого реалистичного n.

Ответ

B · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графов

Ответ: L = 22

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 46 = 2(L + 13) − 2
L = 22

Ответ

L = 22

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(E) = 4

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 6, C: 1
C (1): E: 4, G: 3
G (3): D: 9
E (4)
B (6)
D (9): F: 14
F (14)

Кратчайший путь

A → C → E
d(E) = 4

Ответ

d(E) = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms