Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько уровней у рекурсии сортировки слиянием для массива из n элементов?

  1. AОколо √n
  2. BОколо n
  3. CОколо log₂ n
  4. DОколо n / 2
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему любой поиск в отсортированном массиве, основанный на сравнениях, требует в худшем случае Ω(log n) сравнений?

  1. AДерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n
  2. BБинарный поиск — единственный возможный алгоритм, и ему нужно log₂ n сравнений
  3. CКаждое сравнение занимает логарифмическое время
  4. DКаждый элемент нужно сравнить хотя бы один раз
3.Структуры данныхСредняя

Сколько узлов в идеальном (perfect) двоичном дереве высоты h, если высота считается в рёбрах?

  1. A2h+1 − 1
  2. Bh2
  3. C2h
  4. D2h + 1
4.Структуры данныхСложная

Зачем серверу выбирать хеш-функцию случайно из универсального семейства?

  1. AЧтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
  2. BЧтобы гарантировать, что никакие два ключа никогда не столкнутся, какие бы ключи ни присылал атакующий
  3. CЧтобы не нужно было увеличивать таблицу
  4. DЧтобы хеш-таблица была отсортирована
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
1817111128220ABCDEF

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины F. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 5.

начало: Fk = 5
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Около log₂ n

Почему это ответ

Деление пополам от n до 1 занимает около log₂ n уровней, и на каждом уровне выполняется O(n) работы по слиянию, что даёт O(n log n).

Ответ

C · Около log₂ n
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Дерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n

Почему это ответ

Каждое сравнение уменьшает множество оставшихся вариантов не более чем вдвое, поэтому для различения n позиций нужно не менее log₂ n сравнений.

Ответ

A · Дерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n
3.Структуры данных

Ответ: A · 2h+1 − 1

Почему это ответ

Сумма 1 + 2 + 4 + ... + 2h равна 2h+1 − 1; например, высота 2 даёт 7 узлов.

Ответ

A · 2h+1 − 1
4.Структуры данных

Ответ: A · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем

Почему это ответ

При универсальном хешировании ожидаемое число коллизий мало для любого множества ключей, поскольку атакующий не знает, какая функция выбрана.

Ответ

A · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: ребро AC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. EF (2)
2. DF (8)
3. BD (11)
4. BC (1)
5. AC (17)

номер ребра 5

AC

Ответ

ребро AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms