Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Нижняя граница для сортировки сравнениями в худшем случае равна:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача о рюкзаке 0/1, решаемая динамическим программированием, требует O(nW) времени. Почему это называют псевдополиномиальным временем?

  1. AПотому что он работает только при W = 0
  2. BW — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
  3. CПотому что n всегда мало
  4. DПотому что алгоритм рандомизированный, и время его работы меняется для каждого входа
3.Структуры данныхСредняя

Очередь реализована двумя стеками: push в стек «in», pop из стека «out», который при опустошении заполняется из «in». Какова амортизированная стоимость одной операции?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.Структуры данныхСложная

Какое свойство поддерживает любое B-дерево идеально сбалансированным?

  1. AКлючи хранятся только в корне
  2. BВсе листья находятся на одной глубине
  3. CКаждый узел хранит один ключ
  4. DУ каждого узла ровно два потомка
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
63127161917ABCDE

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Ω(n log n)

Почему это ответ

Любой сортировке сравнениями в худшем случае требуется не менее log₂(n!) ≈ n log n сравнений. Сортировка подсчётом (counting sort) обходит эту границу, так как не сравнивает элементы.

Ответ

C · Ω(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W

Почему это ответ

Время работы полиномиально относительно значения W, но экспоненциально относительно его длины (log W битов); задача о рюкзаке 0/1 является NP-полной.

Ответ

B · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данных

Ответ: D · O(1)

Почему это ответ

Каждый элемент помещается и извлекается в сумме не более двух раз, поэтому, хотя одно перезаполнение может занять O(n), в среднем по последовательности операций выходит O(1).

Ответ

D · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: B · Все листья находятся на одной глубине

Почему это ответ

Заполненные узлы расщепляются вверх, а дерево становится выше только при расщеплении корня, поэтому все листья всегда остаются на одном уровне.

Ответ

B · Все листья находятся на одной глубине
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: W = 32

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

AC (3): берём
AB (6): берём
BD (7): берём
BC (12): пропускаем, замыкает цикл
CE (16): берём

Суммарный вес

W = 3 + 6 + 7 + 16 = 32

Ответ

W = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms