Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему многие библиотечные процедуры сортировки переходят на сортировку вставками для очень маленьких подмассивов?

AРекурсивные алгоритмы не справляются с массивами меньше 10 элементов
BУ сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
CСортировка вставками использует меньше памяти, чем любой другой алгоритм сортировки, на больших входах
DСортировка вставками имеет сложность O(n log n) в худшем случае

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Принадлежит ли 2²ⁿ классу O(2ⁿ)?

AНет, потому что 2²ⁿ = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
BНет, потому что 2²ⁿ растёт медленнее 2ⁿ
CДа, потому что обе функции экспоненциальны
DДа, потому что постоянные множители в показателе в O большом всегда игнорируются

3.Структуры данныхСредняя

Как вставляется новый элемент в двоичную кучу?

AЕго помещают в корень и опускают вниз
BВсю кучу перестраивают с нуля
CЕго помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи
DЕго вставляют в отсортированную позицию, сдвигая все бо́льшие элементы на одно место вправо

4.Структуры данныхСложная

Какие операции поддерживает за O(log n) дерево Фенвика (binary indexed tree) над массивом из n чисел?

AСортировку массива и двоичный поиск
BЗапросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
CПоиск медианы за O(1)
DВставку элементов в любую позицию

5.Теория графовСредняя

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 5

1Эйлеров цикл
2Эйлеров путь, не цикл
3ни то, ни другое

6.Теория графовСложная

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины C. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 3.

начало: Ck = 3

1ребро AB
2ребро AC
3ребро BD
4ребро DF
5ребро EF
6ребро GB
7ребро GC
8ребро GD
9ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах

Почему это ответ

При малых n простой цикл сортировки вставками выигрывает у накладных расходов рекурсии быстрой сортировки или сортировки слиянием, хотя он O(n²).

Ответ

B · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Нет, потому что 2²ⁿ = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

Почему это ответ

Константа, прибавленная к показателю, даёт постоянный множитель, а константа, умножающая показатель, меняет основание и скорость роста.

Ответ

A · Нет, потому что 2²ⁿ = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

3.Структуры данных

Ответ: C · Его помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи

Почему это ответ

Добавление в конец сохраняет полноту дерева; обмены с родителем восстанавливают порядок за O(log n) шагов.

Ответ

C · Его помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи

4.Структуры данных

Ответ: B · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента

Почему это ответ

Дерево Фенвика хранит частичные суммы по диапазонам, определяемым младшими битами каждого индекса, поэтому и префиксные суммы, и точечные обновления занимают O(log n).

Ответ

B · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента

5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл

6.Теория графов

Ответ: ребро BD

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. GC (4)

2. GB (7)

3. BD (1)

4. GE (10)

5. EF (9)

6. AC (14)

номер ребра 3

Ответ

ребро BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms