Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что вычисляет алгоритм Флойда–Уоршелла и как быстро?

  1. AКратчайшие пути из одной исходной вершины до всех остальных за O(V + E)
  2. BМинимальное остовное дерево за O(E log V)
  3. CТопологический порядок за O(V²)
  4. DКратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Проблема остановки показывает, что:

  1. AКаждая программа в конце концов останавливается
  2. BЦиклов следует избегать
  3. CНекоторые программы работают быстрее на более быстрых компьютерах, поэтому остановка зависит от оборудования
  4. DНикакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
3.Структуры данныхСредняя

Какова высота двоичного дерева поиска с n узлами в худшем случае, если ключи вставляются в отсортированном порядке?

  1. A√n
  2. Blog₂ n
  3. C1
  4. Dn (дерево превращается в связный список)
4.Структуры данныхСложная

Почему в хеш-таблице с открытой адресацией удаление часто выполняют с помощью метки «надгробие» (tombstone)?

  1. AУдалённые ключи нужно хранить вечно из соображений безопасности, поэтому ячейки нельзя использовать повторно
  2. BНадгробия ускоряют хеширование
  3. CОсвобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей
  4. DЭто делает таблицу отсортированной
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 16 вершин и 21 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 16|E| = 21
k =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 2 из C в D? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)

Почему это ответ

Флойд–Уоршелл — алгоритм динамического программирования, который по очереди допускает каждую вершину как промежуточную точку и использует время O(V³).

Ответ

D · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она

Почему это ответ

Тьюринг показал, что проблема остановки неразрешима: предположение о существовании разрешающего алгоритма приводит к противоречию с программой, которая поступает наоборот.

Ответ

D · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
3.Структуры данных

Ответ: D · n (дерево превращается в связный список)

Почему это ответ

Вставка отсортированных ключей создаёт вырожденное дерево высотой n, и поиск становится O(n). Сбалансированные деревья это предотвращают.

Ответ

D · n (дерево превращается в связный список)
4.Структуры данных

Ответ: C · Освобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей

Почему это ответ

Если бы удалённая ячейка стала пустой, последующие поиски могли бы остановиться слишком рано и пропустить ключи, размещённые дальше в цепочке пробирования.

Ответ

C · Освобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей
5.Теория графов

Ответ: k = 6

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

16 − 1 = 15

Рёбра для удаления

k = 21 − 15 = 6

Ответ

k = 6
6.Теория графов

Ответ: N = 1

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Общие соседи

(M²)CD = 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·1 + 0·1 = 1

Ответ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms