Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
  2. BТолько случайные входные данные
  3. CПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  4. DОдин цикл
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Умножение Карацубы удовлетворяет T(n) = 3T(n/2) + O(n). Каково решение?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(nlog₂ 3), примерно n1,585
  4. DΘ(n log n)
3.Структуры данныхСредняя

Какой метод разрешения коллизий хранит конфликтующие ключи в списке в той же корзине?

  1. AЛинейное пробирование
  2. BМетод цепочек (separate chaining)
  3. CДвойное хеширование
  4. DКвадратичное пробирование
4.Структуры данныхСложная

Какому свойству должно удовлетворять красно-чёрное дерево?

  1. AКаждый узел должен быть красным
  2. BКорень должен быть красным
  3. CКаждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
  4. DУ каждого красного узла должны быть красные потомки, поэтому красные узлы всегда образуют непрерывные цепочки до листьев
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
72061014188ABCDE

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины E. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 4.

начало: Ek = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

C · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Θ(nlog₂ 3), примерно n1,585

Почему это ответ

Поскольку log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, по основной теореме доминируют листья, и это лучше школьного метода O(n²).

Ответ

C · Θ(nlog₂ 3), примерно n1,585
3.Структуры данных

Ответ: B · Метод цепочек (separate chaining)

Почему это ответ

Метод цепочек хранит для каждой корзины связный список (или другую структуру); открытая адресация ищет другую свободную ячейку в самой таблице.

Ответ

B · Метод цепочек (separate chaining)
4.Структуры данных

Ответ: C · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов

Почему это ответ

Правила красно-чёрного дерева: узлы красные или чёрные, корень чёрный, потомки красных узлов чёрные, а все пути имеют одинаковую чёрную высоту, что удерживает высоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Ответ

C · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Нечётные вершины

B, D, F, G → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: ребро BD

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. BE (8)
2. BC (6)
3. AB (7)
4. BD (10)

номер ребра 4

BD

Ответ

ребро BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms