Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково время работы поразрядной сортировки LSD для n целых чисел из d цифр в системе счисления с основанием k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Сортировка вставками работает за O(n) на отсортированном входе. Противоречит ли это нижней оценке Ω(n log n) для сортировки сравнениями?

  1. AДа, значит, нижняя оценка неверна
  2. BНет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
  3. CДа, но только для массивов короче 100
  4. DНет, потому что сортировка вставками не является сортировкой сравнениями
3.Структуры данныхСредняя

Что верно для матрицы смежности неориентированного графа?

  1. AВ каждой строке ровно одна 1
  2. BНа её главной диагонали всегда стоят единицы
  3. CОна всегда верхнетреугольная
  4. DОна симметрична относительно главной диагонали
4.Структуры данныхСложная

Каково при простом равномерном хешировании ожидаемое время поиска в хеш-таблице с цепочками, n ключами и m корзинами?

  1. AO(log n)
  2. BO(1 + α), где α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(n)
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K4
H =
6.Теория графовСложная
528127479ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(E) кратчайшего пути от A до E во взвешенном графе.

начало: Aконец: E
d(E) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(d(n + k))

Почему это ответ

Каждый из d проходов — сортировка подсчётом стоимостью O(n + k), поэтому при фиксированных d и k итог линеен по n.

Ответ

B · O(d(n + k))
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу

Почему это ответ

Оценка утверждает, что любой сортировке сравнениями нужно около n log n сравнений на некотором входе размера n; особые входы могут обрабатываться гораздо быстрее.

Ответ

B · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
3.Структуры данных

Ответ: D · Она симметрична относительно главной диагонали

Почему это ответ

В неориентированном графе ребро {u, v} означает, что установлены и M[u][v], и M[v][u], поэтому матрица равна своей транспонированной.

Ответ

D · Она симметрична относительно главной диагонали
4.Структуры данных

Ответ: B · O(1 + α), где α = n / m

Почему это ответ

Вычисление хеша стоит O(1), а ожидаемая длина цепочки равна α, поэтому, если ограничивать α увеличением таблицы, ожидаемое время составит O(1).

Ответ

B · O(1 + α), где α = n / m
5.Теория графов

Ответ: H = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Ответ

H = 3
6.Теория графов

Ответ: d(E) = 9

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 5, C: 2
C (2): E: 9
B (5): D: 17
E (9): D: 13, F: 18
D (13)
F (18)

Кратчайший путь

A → C → E
d(E) = 9

Ответ

d(E) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms