Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Как алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево?

  1. AОн запускает поиск в ширину и сохраняет дерево BFS
  2. BОн удаляет самое дорогое ребро, пока не исчезнут циклы
  3. CОн сортирует все рёбра по весу и добавляет каждое, если оно не образует цикл в лесу
  4. DОн выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему поиск в хеш-таблице в среднем имеет сложность O(1), а в худшем случае — O(n)?

  1. AХеш-функции работают медленно
  2. BМногие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
  3. CДоступ к массивам имеет сложность O(n)
  4. DКлючи сначала нужно отсортировать
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимают списки смежности для графа с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V²)
  2. BO(E²)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
4.Структуры данныхСложная

Для чего используется структура union-find в алгоритме Краскала построения минимального остовного дерева?

  1. AДля сортировки рёбер по весу
  2. BДля проверки, соединены ли уже два конца ребра
  3. CДля хранения текущего расстояния каждой вершины от источника во время обхода
  4. DДля выбора начальной вершины
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 18 вершин и 24 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 18|E| = 24
k =
6.Теория графовСложная
87513214131510ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 5; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева

Почему это ответ

Алгоритм Прима с очередью с приоритетом пересекающих рёбер работает за O(E log V) при использовании двоичной кучи.

Ответ

D · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину

Почему это ответ

При хорошей хеш-функции и подходящем коэффициенте заполнения корзины в среднем остаются короткими; злонамеренно подобранные данные или плохое хеширование могут поместить все ключи в одну корзину.

Ответ

B · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
3.Структуры данных

Ответ: D · O(V + E)

Почему это ответ

У каждой вершины есть список, а каждое ребро встречается один раз (ориентированный граф) или дважды (неориентированный), что даёт O(V + E).

Ответ

D · O(V + E)
4.Структуры данных

Ответ: B · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра

Почему это ответ

Find показывает, лежат ли оба конца в одной компоненте; если нет, ребро добавляется, а union объединяет компоненты.

Ответ

B · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра
5.Теория графов

Ответ: k = 7

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

18 − 1 = 17

Рёбра для удаления

k = 24 − 17 = 7

Ответ

k = 7
6.Теория графов

Ответ: D

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 8, C: 7
2. C (7): E: 9
3. B (8): D: 21
4. E (9): F: 24
5. D (21)
6. F (24)

шаг 5

D

Ответ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms