Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Верно ли утверждать, что алгоритм O(n²) также является O(n³)?

  1. AНет, потому что O большое всегда должно указывать точную скорость роста функции
  2. BДа, но только если n меньше 100
  3. CДа, потому что O большое — верхняя граница, а n² растёт не быстрее n³
  4. DНет, потому что при больших n значение n³ меньше n²
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Принадлежит ли 22n классу O(2ⁿ)?

  1. AДа, потому что обе функции экспоненциальны
  2. BНет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
  3. CДа, потому что постоянные множители в показателе в O большом всегда игнорируются
  4. DНет, потому что 22n растёт медленнее 2ⁿ
3.Структуры данныхСредняя

Зачем нужен сторожевой (фиктивный, sentinel) узел в связном списке?

  1. AЧтобы хранить число элементов
  2. BЧтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
  3. CЧтобы список не мог вырасти сверх фиксированного максимального числа узлов
  4. DЧтобы список был отсортирован
4.Структуры данныхСложная

Что делает косое дерево (splay tree) после каждого обращения?

  1. AПерекрашивает узлы на пути поиска
  2. BПерестраивает всё дерево в сбалансированном виде
  3. CПеремещает узел, к которому обращались, в лист
  4. DПоворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 6 вершин и 9 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 6|E| = 9
k =
6.Теория графовСложная
412196315ABCDE

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины B. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2.

начало: Bk = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Да, потому что O большое — верхняя граница, а n² растёт не быстрее n³

Почему это ответ

O большое — верхняя граница, поэтому утверждение верно, но не точно; Θ(n²) указывает точную скорость роста.

Ответ

C · Да, потому что O большое — верхняя граница, а n² растёт не быстрее n³
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

Почему это ответ

Константа, прибавленная к показателю, даёт постоянный множитель, а константа, умножающая показатель, меняет основание и скорость роста.

Ответ

B · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
3.Структуры данных

Ответ: B · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте

Почему это ответ

Со сторожевым узлом у каждого реального узла есть предшественник, поэтому вставка или удаление в голове не требуют особой обработки.

Ответ

B · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
4.Структуры данных

Ответ: D · Поворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень

Почему это ответ

Splay-операция поворотами перемещает узел, к которому обращались, в корень; одна операция может стоить O(n), но амортизированная стоимость — O(log n).

Ответ

D · Поворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень
5.Теория графов

Ответ: k = 4

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

6 − 1 = 5

Рёбра для удаления

k = 9 − 5 = 4

Ответ

k = 4
6.Теория графов

Ответ: ребро AC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. BC (2)
2. AC (1)
3. CE (6)
4. DE (3)

номер ребра 2

AC

Ответ

ребро AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms