Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Примерно сколько сравнений нужно бинарному поиску в худшем случае на отсортированном массиве из 1,000,000 элементов?

  1. AОколо 20
  2. BОколо 1,000
  3. CОколо 500,000
  4. DОколо 100
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о P и NP верно?

  1. AРешения задач NP невозможно быстро проверить
  2. BКаждая задача из P также принадлежит NP
  3. CДоказано, что P ≠ NP
  4. DNP означает «неполиномиальный» (not polynomial)
3.Структуры данныхСредняя

Очередь реализована двумя стеками: push в стек «in», pop из стека «out», который при опустошении заполняется из «in». Какова амортизированная стоимость одной операции?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.Структуры данныхСложная

Структура union-find (система непересекающихся множеств) с объединением по рангу и сжатием путей имеет амортизированную стоимость операции:

  1. AO(n²)
  2. BРовно O(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 3
L =
6.Теория графовСложная
151910215141114ABCDEFG

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 6; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Около 20

Почему это ответ

220 ≈ 1,048,576, поэтому примерно после 20 делений пополам остаётся один элемент.

Ответ

A · Около 20
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Каждая задача из P также принадлежит NP

Почему это ответ

P ⊆ NP: если Вы можете быстро решить задачу, то можете и быстро проверить решение. Вопрос о том, верно ли P = NP, по-прежнему открыт.

Ответ

B · Каждая задача из P также принадлежит NP
3.Структуры данных

Ответ: A · O(1)

Почему это ответ

Каждый элемент помещается и извлекается в сумме не более двух раз, поэтому, хотя одно перезаполнение может занять O(n), в среднем по последовательности операций выходит O(1).

Ответ

A · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: D · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа

Почему это ответ

С обеими оптимизациями операции выполняются за амортизированное время O(α(n)); α(n) ≤ 4 для любого реалистичного n.

Ответ

D · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графов

Ответ: L = 5

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Ответ

L = 5

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: G

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 15
2. B (15): D: 16, G: 30
3. D (16): E: 25, F: 26, G: 27
4. E (25)
5. F (26)
6. G (27): C: 41
7. C (41)

шаг 6

G

Ответ

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms