Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  2. BВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
  3. CТолько случайные входные данные
  4. DОдин цикл
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Сортировка вставками работает за O(n) на отсортированном входе. Противоречит ли это нижней оценке Ω(n log n) для сортировки сравнениями?

  1. AДа, но только для массивов короче 100
  2. BНет, потому что сортировка вставками не является сортировкой сравнениями
  3. CНет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
  4. DДа, значит, нижняя оценка неверна
3.Структуры данныхСредняя

Как найти минимальный ключ в двоичном дереве поиска?

  1. AИдти от корня по правым потомкам, пока правого потомка не окажется
  2. BОбойти все листья и сравнить их
  3. CПосмотреть только на корень
  4. DИдти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
4.Структуры данныхСложная

Объект хранится как ключ в хеш-отображении, а затем меняется поле, используемое его хеш-функцией. Каков вероятный результат?

  1. AОтображение автоматически переносит ключ в новую корзину
  2. BНичего не меняется, потому что хеш ключа вычисляется только один раз при запуске программы
  3. CОтображение выбрасывает ошибку в момент изменения поля
  4. DПоиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
11211141525ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу

Почему это ответ

Оценка утверждает, что любой сортировке сравнениями нужно около n log n сравнений на некотором входе размера n; особые входы могут обрабатываться гораздо быстрее.

Ответ

C · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
3.Структуры данных

Ответ: D · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется

Почему это ответ

У самого левого узла нет в дереве меньшего ключа, поэтому он минимальный; стоимость пропорциональна высоте.

Ответ

D · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
4.Структуры данных

Ответ: D · Поиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша

Почему это ответ

Место ключа было выбрано по его старому хешу; с новым хешем поиск идёт не в той корзине, поэтому ключи должны быть неизменяемыми.

Ответ

D · Поиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Нечётные вершины

A, C, D, E → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: B

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 11, C: 2
2. C (2): E: 16
3. B (11)
4. E (16): D: 17, F: 18
5. D (17)
6. F (18)

шаг 3

B

Ответ

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms