Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность умножения двух матриц n × n стандартным тройным циклом?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как алгоритм Беллмана–Форда обнаруживает цикл отрицательного веса, достижимый из источника?

  1. AОн дважды запускает алгоритм Дейкстры и сравнивает два полученных результата расстояний
  2. BПосле V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
  3. CОн подсчитывает циклы поиском в глубину
  4. DОн проверяет, есть ли ребро с отрицательным весом
3.Структуры данныхСредняя

Ключи 50, 30, 70, 20, 40 вставляются в таком порядке в пустое двоичное дерево поиска. Кто левый потомок 30?

  1. A50
  2. B40
  3. C70
  4. D20
4.Структуры данныхСложная

Вставка ключа в АВЛ-дерево делает левое поддерево узла слишком высоким, причём новый ключ попал в левое поддерево его левого потомка (случай левый–левый). Какое исправление применяется?

  1. AПерекрашивание узла и его потомка
  2. BОдиночный левый поворот в несбалансированном узле
  3. CОдиночный правый поворот в несбалансированном узле
  4. DЛевый поворот в потомке, затем правый поворот в узле
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
2105171231415145ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(E) кратчайшего пути от A до E во взвешенном графе.

начало: Aконец: E
d(E) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n³)

Почему это ответ

Элементов n², и каждому нужно n умножений, что даёт n³ операций.

Ответ

B · O(n³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро

Почему это ответ

Все истинные кратчайшие расстояния находятся за V − 1 раундов; если ребро ещё можно улучшить, значит, существует отрицательный цикл.

Ответ

B · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
3.Структуры данных

Ответ: D · 20

Почему это ответ

20 меньше 50 и меньше 30, поэтому становится левым потомком 30; 40 становится его правым потомком.

Ответ

D · 20
4.Структуры данных

Ответ: C · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле

Почему это ответ

В случае левый–левый один правый поворот поднимает левого потомка вверх и восстанавливает баланс; случаи зигзага требуют двойного поворота.

Ответ

C · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: d(E) = 12

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 2, C: 10
B (2): C: 7, D: 3, G: 17
D (3): E: 15, F: 6, G: 7
F (6)
C (7): E: 14
G (7): E: 12
E (12)

Кратчайший путь

A → B → D → G → E
d(E) = 12

Ответ

d(E) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms