Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Вы один раз сортируете массив из n элементов, а затем отвечаете на k запросов о принадлежности бинарным поиском. Какова общая стоимость?

  1. AO(n + k)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о P и NP верно?

  1. AКаждая задача из P также принадлежит NP
  2. BДоказано, что P ≠ NP
  3. CNP означает «неполиномиальный» (not polynomial)
  4. DРешения задач NP невозможно быстро проверить
3.Структуры данныхСредняя

Префиксное дерево (trie) особенно эффективно для:

  1. AПоиска кратчайших путей
  2. BХранения матриц
  3. CПоиска по префиксу, например автодополнения
  4. DСортировки чисел
4.Структуры данныхСложная

Какую проблему линейного пробирования в основном уменьшает двойное хеширование?

  1. AНеобходимость хранить ключи в таблице
  2. BНеобходимость в хеш-функции
  3. CСтоимость O(n) чтения значения по ключу
  4. DПервичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, 2 вершин степени 5, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 33 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
812672151111ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 5; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n log n + k log n)

Почему это ответ

Сортировка стоит O(n log n), а каждый запрос — O(log n); при больших k это выгоднее k линейных просмотров (O(nk)).

Ответ

B · O(n log n + k log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Каждая задача из P также принадлежит NP

Почему это ответ

P ⊆ NP: если Вы можете быстро решить задачу, то можете и быстро проверить решение. Вопрос о том, верно ли P = NP, по-прежнему открыт.

Ответ

A · Каждая задача из P также принадлежит NP
3.Структуры данных

Ответ: C · Поиска по префиксу, например автодополнения

Почему это ответ

Trie хранит строки посимвольно вдоль путей, поэтому поиск и запросы по префиксу занимают время, пропорциональное длине ключа.

Ответ

C · Поиска по префиксу, например автодополнения
4.Структуры данных

Ответ: D · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек

Почему это ответ

Линейное пробирование делает шаг 1, поэтому серии занятых ячеек растут и сливаются; двойное хеширование использует второй хеш для размера шага, так что разные ключи проходят разные последовательности.

Ответ

D · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
5.Теория графов

Ответ: L = 17

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 37 = 2(L + 11) − 2
L = 17

Ответ

L = 17

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: E

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 8, C: 12
2. B (8): D: 14, E: 19
3. C (12)
4. D (14): E: 16, F: 29
5. E (16): F: 27
6. F (27)

шаг 5

E

Ответ

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms