Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова амортизированная временная сложность добавления элемента в конец динамического массива, который удваивает свою ёмкость при заполнении?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Сортировка вставками работает за O(n) на отсортированном входе. Противоречит ли это нижней оценке Ω(n log n) для сортировки сравнениями?

  1. AНет, потому что сортировка вставками не является сортировкой сравнениями
  2. BНет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
  3. CДа, значит, нижняя оценка неверна
  4. DДа, но только для массивов короче 100
3.Структуры данныхСредняя

Какой абстрактный тип данных использует алгоритм Дейкстры для выбора следующей обрабатываемой вершины?

  1. AОчередь FIFO
  2. BМножество без упорядочения
  3. CСтек
  4. DОчередь с приоритетом по минимуму
4.Структуры данныхСложная

Чем radix-дерево (сжатое префиксное дерево) лучше обычного trie?

  1. AОно хранит только первую букву каждого слова
  2. BОно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
  3. CОно хранит каждое слово в хеш-таблице в корне вместо отдельных узлов
  4. DОно сортирует потомков каждого узла по частоте
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
13101120181681615ABCDEFG

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2; пропущенные рёбра не считаются.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро GB
  9. 9ребро GC
  10. 10ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(1)

Почему это ответ

Копирование всех элементов происходит только на степенях двойки; если распределить эти затраты на все добавления, средняя стоимость одного добавления постоянна.

Ответ

A · O(1)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу

Почему это ответ

Оценка утверждает, что любой сортировке сравнениями нужно около n log n сравнений на некотором входе размера n; особые входы могут обрабатываться гораздо быстрее.

Ответ

B · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
3.Структуры данных

Ответ: D · Очередь с приоритетом по минимуму

Почему это ответ

Очередь с приоритетом по минимуму, обычно двоичная куча, эффективно возвращает непосещённую вершину с наименьшим расстоянием.

Ответ

D · Очередь с приоритетом по минимуму
4.Структуры данных

Ответ: B · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой

Почему это ответ

Сжатие путей без ветвлений уменьшает число узлов и расход памяти, сохраняя поиск по префиксу.

Ответ

B · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Нечётные вершины

B, C, E, F → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: ребро EF

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. DF (1)
2. EF (6)
3. GB (8)
4. AC (10)
5. BC (11)
6. GE (15)

номер ребра 2

EF

Ответ

ребро EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms