Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какой алгоритм находит минимальное остовное дерево, многократно добавляя самое дешёвое ребро, не образующее цикла?

  1. AАлгоритм Прима, начинающий с одной вершины
  2. BАлгоритм Флойда–Уоршелла
  3. CАлгоритм Краскала
  4. DАлгоритм Дейкстры
3.Структуры данныхСредняя

Чему равно значение постфиксного выражения 3 4 + 2 * ?

  1. A11
  2. B14
  3. C10
  4. D24
4.Структуры данныхСложная

Дерево отрезков (segment tree) обычно используют для:

  1. AРеализации стека
  2. BХранения рёбер графа
  3. CСортировки строк по алфавиту путём хранения каждого префикса в отдельном узле дерева
  4. DОтветов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
32197151814ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n²)

Почему это ответ

Работа в сумме составляет около n² / 2; это рекуррентное соотношение сортировки выбором или быстрой сортировки с худшим опорным элементом.

Ответ

B · O(n²)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Алгоритм Краскала

Почему это ответ

Алгоритм Краскала сортирует рёбра по весу и добавляет их, если они соединяют разные компоненты; алгоритм Прима наращивает одно дерево от начальной вершины.

Ответ

C · Алгоритм Краскала
3.Структуры данных

Ответ: B · 14

Почему это ответ

Помещаем 3 и 4, + даёт 7; помещаем 2, * даёт 7 × 2 = 14.

Ответ

B · 14
4.Структуры данных

Ответ: D · Ответов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)

Почему это ответ

Дерево отрезков хранит агрегаты для отрезков, поддерживая запросы на диапазонах и точечные обновления за время O(log n).

Ответ

D · Ответов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: W = 25

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

EF (1): берём
AC (2): берём
AB (3): берём
BE (4): берём
CE (7): пропускаем, замыкает цикл
DE (15): берём

Суммарный вес

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 15 = 25

Ответ

W = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms