Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм сортировки является устойчивым?

  1. AПирамидальная сортировка
  2. BСортировка выбором (типичная версия)
  3. CСортировка слиянием
  4. DБыстрая сортировка (типичная версия на месте)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что последовало бы, если бы кто-то нашёл полиномиальный алгоритм для одной NP-полной задачи?

  1. AВсе алгоритмы с экспоненциальным временем сразу стали бы работать за линейное время
  2. BПроблема остановки стала бы разрешимой
  3. CТолько эта одна задача перешла бы в P
  4. DКаждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
3.Структуры данныхСредняя

Почему двоичную кучу можно хранить в массиве без каких-либо указателей?

  1. AЭто полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
  2. BВ кучах никогда не бывает больше 100 элементов
  3. CМассивы автоматически хранят ключи в отсортированном порядке, поэтому указатели не нужны
  4. DВсе ключи в куче равны
4.Структуры данныхСложная

Вставка ключа в АВЛ-дерево делает левое поддерево узла слишком высоким, причём новый ключ попал в левое поддерево его левого потомка (случай левый–левый). Какое исправление применяется?

  1. AОдиночный левый поворот в несбалансированном узле
  2. BПерекрашивание узла и его потомка
  3. CОдиночный правый поворот в несбалансированном узле
  4. DЛевый поворот в потомке, затем правый поворот в узле
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K6? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K6
H =
6.Теория графовСложная
31371551026ABCDEF

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины C. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 5.

начало: Ck = 5
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Сортировка слиянием

Почему это ответ

Сортировка слиянием устойчива, если при равных ключах во время слияния сначала берётся элемент из левой половины. Быстрая сортировка на месте, пирамидальная сортировка и сортировка выбором обычно неустойчивы.

Ответ

C · Сортировка слиянием
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP

Почему это ответ

Поскольку весь класс NP сводится к любой NP-полной задаче за полиномиальное время, быстрый алгоритм для одной даёт быстрый алгоритм для всех.

Ответ

D · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
3.Структуры данных

Ответ: A · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов

Почему это ответ

Полнота означает отсутствие пропусков, поэтому потомки индекса i всегда находятся в 2i + 1 и 2i + 2.

Ответ

A · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
4.Структуры данных

Ответ: C · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле

Почему это ответ

В случае левый–левый один правый поворот поднимает левого потомка вверх и восстанавливает баланс; случаи зигзага требуют двойного поворота.

Ответ

C · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле
5.Теория графов

Ответ: H = 60

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Ответ

H = 60
6.Теория графов

Ответ: ребро DE

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. BC (7)
2. AB (3)
3. BE (6)
4. EF (2)
5. DE (5)

номер ребра 5

DE

Ответ

ребро DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms