Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему многие библиотечные процедуры сортировки переходят на сортировку вставками для очень маленьких подмассивов?

AСортировка вставками использует меньше памяти, чем любой другой алгоритм сортировки, на больших входах
BУ сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
CСортировка вставками имеет сложность O(n log n) в худшем случае
DРекурсивные алгоритмы не справляются с массивами меньше 10 элементов

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково время работы алгоритма Дейкстры с двоичной кучей на графе с V вершинами и E рёбрами?

AO(V³)
BO(V + E)
CO((V + E) log V)
DO(V × E)

3.Структуры данныхСредняя

Что происходит, когда хеш-таблица выполняет рехеширование после превышения порога коэффициента заполнения?

AСуществующие ключи сортируются на месте
BВ новый список переполнения в конце таблицы переносятся только конфликтующие ключи
CСамые старые ключи удаляются, чтобы освободить место
DВыделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново

4.Структуры данныхСложная

Динамический массив удваивается при заполнении. Почему многие реализации уменьшают его, только когда он заполнен на четверть, а не наполовину?

AЧтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
BПотому что уменьшение вдвое при половинном заполнении привело бы к потере элементов
CЧтобы массив оставался отсортированным
DПотому что распределитель памяти может освобождать память только четвертями блока

5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 11 вершин и 22 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 11|E| = 22

k =

6.Теория графовСложная

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 6; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 6

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах

Почему это ответ

При малых n простой цикл сортировки вставками выигрывает у накладных расходов рекурсии быстрой сортировки или сортировки слиянием, хотя он O(n²).

Ответ

B · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O((V + E) log V)

Почему это ответ

Выполняется V операций извлечения минимума и до E операций уменьшения ключа, каждая за O(log V); фибоначчиева куча улучшает это до O(E + V log V).

Ответ

C · O((V + E) log V)

3.Структуры данных

Ответ: D · Выделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново

Почему это ответ

Поскольку индекс вычисляется по модулю размера таблицы, все ключи нужно заново хешировать в новую, большую таблицу; при удвоении это остаётся O(1) амортизированно.

Ответ

D · Выделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново

4.Структуры данных

Ответ: A · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы

Почему это ответ

Уменьшение при половинном заполнении в такой последовательности могло бы вызывать изменение размера на каждой операции; промежуток между 1/4 и полным заполнением сохраняет амортизированную стоимость O(1).

Ответ

A · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы

5.Теория графов

Ответ: k = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

11 − 1 = 10

Рёбра для удаления

k = 22 − 10 = 12

Ответ

k = 12

6.Теория графов

Ответ: F

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 4, C: 9

2. B (4): G: 8

3. G (8)

4. C (9): E: 18

5. E (18): D: 31, F: 22

6. F (22): D: 30

7. D (30)

шаг 6

Ответ

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms