Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково время работы поразрядной сортировки LSD для n целых чисел из d цифр в системе счисления с основанием k?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n²)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Топологическая сортировка возможна только для:

  1. AГрафов с отрицательными весами
  2. BНеориентированных графов
  3. CПолных графов
  4. DОриентированных ациклических графов
3.Структуры данныхСредняя

Почему обход массива на практике часто гораздо быстрее обхода связного списка той же длины?

  1. AМассивы требуют меньше инструкций для сравнения значений
  2. BОбход массива занимает в сумме O(1), а связного списка — O(n)
  3. CЭлементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора
  4. DСвязные списки всегда хранят элементы на диске
4.Структуры данныхСложная

Нужно хранить k наименьших значений из потока n чисел, используя O(k) памяти. Какой подход работает за время O(n log k)?

  1. AMin-куча, хранящая все n значений, из которой в конце извлекаются k наименьших
  2. BОтсортированный массив всех n значений
  3. CMax-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
  4. DОчередь FIFO последних k значений
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
1116107521156ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(d(n + k))

Почему это ответ

Каждый из d проходов — сортировка подсчётом стоимостью O(n + k), поэтому при фиксированных d и k итог линеен по n.

Ответ

C · O(d(n + k))
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Ориентированных ациклических графов

Почему это ответ

Топологический порядок существует тогда и только тогда, когда в ориентированном графе нет циклов; его можно найти за O(V + E) с помощью DFS или алгоритма Кана.

Ответ

D · Ориентированных ациклических графов
3.Структуры данных

Ответ: C · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора

Почему это ответ

Непрерывная память обеспечивает хорошую локальность обращений, а связанные узлы могут быть разбросаны и вызывать много промахов кэша.

Ответ

C · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора
4.Структуры данных

Ответ: C · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение

Почему это ответ

Корень max-кучи — наибольшее из хранимых значений; любое меньшее новое значение заменяет его за O(log k), поэтому куча всегда содержит k наименьших значений на данный момент.

Ответ

C · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Нечётные вершины

A, B, C, D, E, F → 6
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: W = 25

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DF (1): берём
DE (2): берём
CE (5): берём
BE (6): берём
BD (7): пропускаем, замыкает цикл
BC (10): пропускаем, замыкает цикл
AB (11): берём

Суммарный вес

W = 1 + 2 + 5 + 6 + 11 = 25

Ответ

W = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms