Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача является NP-полной, если она:

  1. AРешается за полиномиальное время
  2. BПринадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
  3. CНеразрешима
  4. DЛежит вне NP, но сложнее всех задач NP, как проблема остановки
3.Структуры данныхСредняя

АВЛ-деревья (AVL) и красно-чёрные деревья гарантируют:

  1. AЧто ни у одного узла нет двух потомков
  2. BВысоту O(log n) благодаря перебалансировке
  3. CХранение ключей в порядке вставки
  4. DПоиск за константное время в любом случае
4.Структуры данныхСложная

Зачем серверу выбирать хеш-функцию случайно из универсального семейства?

  1. AЧтобы гарантировать, что никакие два ключа никогда не столкнутся, какие бы ключи ни присылал атакующий
  2. BЧтобы не нужно было увеличивать таблицу
  3. CЧтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
  4. DЧтобы хеш-таблица была отсортирована
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 20 вершин и 24 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 20|E| = 24
k =
6.Теория графовСложная
17115897181ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(log n)

Почему это ответ

Задача на каждом шаге уменьшается вдвое при постоянной работе на шаг, поэтому шагов около log₂ n.

Ответ

C · O(log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время

Почему это ответ

NP-полные задачи — самые сложные в NP; полиномиальный алгоритм для одной из них дал бы полиномиальный алгоритм для всего класса NP.

Ответ

B · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: B · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке

Почему это ответ

Самобалансирующиеся деревья сохраняют логарифмическую высоту, поэтому поиск, вставка и удаление в худшем случае выполняются за O(log n).

Ответ

B · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке
4.Структуры данных

Ответ: C · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем

Почему это ответ

При универсальном хешировании ожидаемое число коллизий мало для любого множества ключей, поскольку атакующий не знает, какая функция выбрана.

Ответ

C · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
5.Теория графов

Ответ: k = 5

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

20 − 1 = 19

Рёбра для удаления

k = 24 − 19 = 5

Ответ

k = 5
6.Теория графов

Ответ: W = 38

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BE (1): берём
BD (5): берём
DF (7): берём
CE (8): берём
DE (9): пропускаем, замыкает цикл
BC (11): пропускаем, замыкает цикл
AC (17): берём

Суммарный вес

W = 1 + 5 + 7 + 8 + 17 = 38

Ответ

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms