Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Кованую стальную деталь температурой 420 °C оставили остывать в цехе при 24 °C. Через 24 min температура равна 269 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.

T₀ = 420 °CT_a = 24 °CT(24) = 269 °C

k = min⁻¹

2.Дифференциальные уравненияСложная

Решите задачу Коши y′ + y/x = 3x² при x > 0, y(1) = 0. Найдите y(3).

y′ + y/x = 3x²y(1) = 0

y(3) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x в радианах).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

4.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = x и параболой y = x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = xy = x²

V =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = −x² + 4x в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = −x² + 4xx = 2

b =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀¹ eˣ dx методом Симпсона, n = 2, и сравните с точным значением. Найдите абсолютную погрешность |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Численные методыСложная

Сделайте один шаг классического метода Рунге–Кутты (RK4) с h = 0,2 для y′ = e^−ty, y(0) = 0. Найдите y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,2

y₁ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: k = 0,02001 min⁻¹

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Отношение разностей температур

e^−24k = 245/396

Найдите k

k = ln(396/245)/24 = 0,02001 min⁻¹

Ответ

k = 0,02001 min⁻¹

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(3) = 20

Интегрирующий множитель

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Интегрируйте

(x¹y)′ = 3x³ → x¹y = 3x⁴/4 + C

Начальное условие

0 = 3/4 + C → C = −0,75

Вычислите

y(3) = (3·3⁴/4 + (−0,75))/3¹ = 20

Ответ

y(3) = 20

3.Интегралы

Ответ: I = 0,4069

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Ответ

I = 0,4069

4.Интегралы

Ответ: V = 0,4189

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

1x = 1x² → x = 0, x = 1

Метод колец (шайб)

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0,1333 = 0,4189

Ответ

V = 0,4189

5.Производные

Ответ: f′(0.5) = 1,382

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Ответ

f′(0,5) = 1,382

6.Производные

Ответ: b = 4

Точка и наклон

f(2) = 4

f′(x) = −2x + 4 → f′(2) = 0

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − 0·2 = 4

Ответ

b = 4

7.Численные методы

Ответ: |E| = 0,0005793

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Точное значение

I = 1,718282

Метод Симпсона

S = (0,5/3)·(1 + 4·1,648721 + 2,718282) = 1,718861

Погрешность

|E| = |1,718861 − 1,718282| = 0,0005793

Ответ

|E| = 0,0005793

Относительная погрешность: 0,03372%.

8.Численные методы

Ответ: y₁ = 0,1974

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Четыре наклона

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,1, 0,1) = 0,99005

k₃ = f(0,1, 0,099005) = 0,990148

k₄ = f(0,2, 0,19803) = 0,961168

Объедините

y₁ = 0 + (0,2/6)(1 + 2·0,99005 + 2·0,990148 + 0,961168) = 0,1974

Ответ

y₁ = 0,1974

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations