Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Кованую стальную деталь температурой 340 °C оставили остывать в цехе при 24 °C. Через 23 min температура равна 182 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 277 °C?

T₀ = 340 °CT_a = 24 °CT(23) = 182 °CT = 277 °C

t = min

2.Дифференциальные уравненияСложная

В баке 1000 L чистой воды. Рассол с содержанием соли 0,05 kg на литр поступает со скоростью 5 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Через сколько минут t в баке будет 40 kg соли?

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² x·cos x dx (x в радианах).

∫₀² x·cos x dx

I =

4.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(3x² + 1). Найдите f′(1).

f(x) = ln(3x² + 1)x = 1

f′(1) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 2. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 2

x =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀¹ √x·e^−x dx методом трапеций с n = 6 полосами. Укажите T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 1]n = 6

T =

8.Численные методыСложная

Сделайте один шаг классического метода Рунге–Кутты (RK4) с h = 0,2 для y′ = cos t − y, y(0) = 3. Найдите y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,2

y₁ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: t = 7,378 min

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Константа охлаждения

k = ln(316/158)/23 = 0,03014 min⁻¹

Время достижения целевой температуры

t = ln(316/253)/0,03014 = 7,378 min

Ответ

t = 7,378 min

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: t = 321,9 min

Результат

m(t) = 50 + (−50)·e^−t/200

Найдите t

e^−t/200 = (50 − 40)/(50 − 0) = 0,2

t = 200·ln(5) = 321,9 min

Ответ

t = 321,9 min

3.Интегралы

Ответ: I = 0,4024

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Ответ

I = 0,4024

4.Интегралы

Ответ: I = 0,0609

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Ответ

I = 0,0609

5.Производные

Ответ: f′(1) = 1,5

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

Подставьте

f′(1) = 6/4 = 1,5

Ответ

f′(1) = 1,5

6.Производные

Ответ: x = 3

Производная

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 3

Что есть что

f″(x) = 6x − 15: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 3

Ответ

x = 3

7.Численные методы

Ответ: T = 0,3647

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Узлы и значения

h = 0,1667

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,345575 + 2·0,41369 + 2·0,428882 + 2·0,419203 + 2·0,396732 + 0,367879 = 4,376043

Метод трапеций

T = (0,1667/2)·4,376043 = 0,3647

Ответ

T = 0,3647

У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.

8.Численные методы

Ответ: y₁ = 2,636

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Четыре наклона

k₁ = f(0, 3) = −2

k₂ = f(0,1, 2,8) = −1,804996

k₃ = f(0,1, 2,8195) = −1,824496

k₄ = f(0,2, 2,635101) = −1,655034

Объедините

y₁ = 3 + (0,2/6)(−2 + 2·−1,804996 + 2·−1,824496 − 1,655034) = 2,636

Ответ

y₁ = 2,636

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations