Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.
Банку газировки температурой 3 °C достали из холодильника в комнату при 30 °C. Через 29 min температура равна 26 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
Решите y′ + 0,5y = 10e−2t при y(0) = 3. Найдите y(1).
Вычислите I = ∫₁6 x·ln x dx.
Вычислите I = ∫₀1 x²·eˣ dx.
Пусть f(x) = ln(3x2 + 4). Найдите f′(−1).
Касательная к f(x) = x2 + 3x + 2 в точке x = 3 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.
Метод трапеций применяется для ∫02 sin x dx. Погрешность не больше (b − a)³·M/(12n²), где M = max|f″| на [0, 2]. Найдите наименьшее число полос n, гарантирующее погрешность меньше 1 × 10⁻⁵.
Используйте метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) с h = 0,5 для y′ = t − y, y(0) = 1, чтобы оценить y3 ≈ y(1,5).
Ответ: k = 0,06585 min⁻¹
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Ответ: y(1) = 4,961
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Ответ: I = 23,5
Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.
Ответ: I = 0,7183
Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.
Ответ: f′(−1) = −0,8571
Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.
Ответ: b = −7
Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.
Ответ: n = 259
Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.
Ответ: y3 = 0,9883
Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.
Точное значение равно y(1,5) = 0,94626.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations