Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Решите y″ + 6y′ + 9y = 0 при y(0) = 5 и y′(0) = 4. Найдите y(1,5).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(1.5) =

2.Дифференциальные уравненияСложная

Система подчиняется уравнению y″ + 4y′ + 20y = 40 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите y(1); углы в радианах.

y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(2x² + 1). Найдите f′(1).

f(x) = ln(2x² + 1)x = 1

f′(1) =

6.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² − 5x − 5 в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² − 5x − 5x = 2

b =

7.Численные методыСредняя

Метод трапеций применяется для ∫₁³ 1/x dx. Погрешность не больше (b − a)³·M/(12n²), где M = max|f″| на [1, 3]. Найдите наименьшее число полос n, гарантирующее погрешность меньше 0,0001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0001

n =

8.Численные методыСложная

Решите y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 методом Эйлера с шагом h = 0,2 до t = 0,8. Точное решение равно y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e^−2t). Найдите глобальную погрешность |E| = |y(0,8) − y₄|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,2

|E| =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(1.5) = 0,3722

Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = e^rt: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·e^rt (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.

Двойной корень

(r + 3)² = 0 → r = −3

Константы

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = 4 + 15 = 19

Вычислите

y(1,5) = (5 + 19·1,5)·e^−4,5 = 0,3722

Ответ

y(1,5) = 0,3722

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(1) = 2,279

Установившееся значение и корни

y_ss = 2, r = −2 ± 4j

Константы по начальным значениям

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −1

Вычислите

y(1) = 2·(1 − e⁻²(cos 4 + 0,5·sin 4)) = 2,279

Ответ

y(1) = 2,279

3.Интегралы

Ответ: I = 41,33

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Ответ

I = 41,33

4.Интегралы

Ответ: A = 36

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

5.Производные

Ответ: f′(1) = 1,333

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

Подставьте

f′(1) = 4/3 = 1,333

Ответ

f′(1) = 1,333

6.Производные

Ответ: b = −13

Точка и наклон

f(2) = −7

f′(x) = 4x − 5 → f′(2) = 3

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − 3·2 = −13

Ответ

b = −13

7.Численные методы

Ответ: n = 116

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Оценка второй производной

M = 2/1³ = 2

Выразите n

n² > 8·2/(12·0,0001) = 13333

n > 115,5 → n = 116

Ответ

n = 116

8.Численные методы

Ответ: |E| = 0,02624

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги Эйлера

y₄ = 1,219335

Точное значение

y(0,8) = 1,245571

Глобальная погрешность

|E| = |1,245571 − 1,219335| = 0,02624

График

Ответ

|E| = 0,02624

Уменьшение h вдвое примерно вдвое уменьшает погрешность метода Эйлера.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations