Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Решите y″ + 2y′ + y = 0 при y(0) = 2 и y′(0) = 2. Найдите y(1).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(1) =

2.Дифференциальные уравненияСложная

Решите y″ + 2y′ + 10y = 0 при y(0) = 1 и y′(0) = 0 (отпущено из состояния покоя). Найдите y(1,5); углы в радианах.

y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1.5) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x² и y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (2x − 1)⁵. Найдите f′(2).

f(x) = (2x − 1)⁵x = 2

f′(2) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 1,5x² − 1. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 1,5x² − 1

x =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀¹ x³ dx методом трапеций, n = 4, и сравните с точным значением. Найдите абсолютную погрешность |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 4

|E| =

8.Численные методыСложная

Сделайте один шаг классического метода Рунге–Кутты (RK4) с h = 0,1 для y′ = t² + y², y(0) = 0,5. Найдите y₁ ≈ y(0,1).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,1

y₁ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(1) = 2,207

Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = e^rt: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·e^rt (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.

Двойной корень

(r + 1)² = 0 → r = −1

Константы

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 1A → B = 2 + 2 = 4

Вычислите

y(1) = (2 + 4·1)·e⁻¹ = 2,207

Ответ

y(1) = 2,207

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(1.5) = −0,1197

Комплексные корни

r = −1 ± 3j

Константы

A = 1, B = 1·1/3 = 0,3333

Вычислите

y(1,5) = e^−1,5(1·cos 4,5 + 0,3333·sin 4,5) = −0,1197

Ответ

y(1,5) = −0,1197

3.Интегралы

Ответ: I = 156

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Ответ

I = 156

4.Интегралы

Ответ: A = 5,333

Точки пересечения

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Ответ

A = 5,333

5.Производные

Ответ: f′(2) = 810

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(2x − 1)⁴·2

Подставьте

f′(2) = 5·3⁴·2 = 810

Ответ

f′(2) = 810

6.Производные

Ответ: x = 1

Производная

f′(x) = 3x² − 3x = 3·(x² − x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x − 3: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −3, f″(1) = 3

x = 1

Ответ

x = 1

7.Численные методы

Ответ: |E| = 0,01563

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Точное значение

I = 0,25

Метод трапеций

T = (0,25/2)·(0 + 2·0,015625 + 2·0,125 + 2·0,421875 + 1) = 0,265625

Погрешность

|E| = |0,265625 − 0,25| = 0,01563

Ответ

|E| = 0,01563

Относительная погрешность: 6,25%.

8.Численные методы

Ответ: y₁ = 0,5267

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Четыре наклона

k₁ = f(0, 0,5) = 0,25

k₂ = f(0,05, 0,5125) = 0,265156

k₃ = f(0,05, 0,513258) = 0,265934

k₄ = f(0,1, 0,526593) = 0,287301

Объедините

y₁ = 0,5 + (0,1/6)(0,25 + 2·0,265156 + 2·0,265934 + 0,287301) = 0,5267

Ответ

y₁ = 0,5267

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations