Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Банку газировки температурой 4 °C достали из холодильника в комнату при 23 °C. Через 8 min температура равна 14 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.

T₀ = 4 °CT_a = 23 °CT(8) = 14 °C

k = min⁻¹

2.Дифференциальные уравненияСложная

Решите задачу Коши y′ + y/x = 3 при x > 0, y(1) = 0. Найдите y(3).

y′ + y/x = 3y(1) = 0

y(3) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x² и y = 3x.

y = 0,5x²y = 3x

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(x² + 1). Найдите f′(2).

f(x) = ln(x² + 1)x = 2

f′(2) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 6x² + 9x − 1. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 6x² + 9x − 1

x =

7.Численные методыСредняя

Метод трапеций применяется для ∫₀² sin x dx. Погрешность не больше (b − a)³·M/(12n²), где M = max|f″| на [0, 2]. Найдите наименьшее число полос n, гарантирующее погрешность меньше 0,0001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001

n =

8.Численные методыСложная

Решите y′ = t + y, y(0) = 1 методом Эйлера с шагом h = 0,1 до t = 0,4. Точное решение равно y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Найдите глобальную погрешность |E| = |y(0,4) − y₄|.

y′ = t + yy(0) = 1h = 0,1

|E| =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: k = 0,0934 min⁻¹

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Отношение разностей температур

e^−8k = -9/-19

Найдите k

k = ln(-19/-9)/8 = 0,0934 min⁻¹

Ответ

k = 0,0934 min⁻¹

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(3) = 4

Интегрирующий множитель

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Интегрируйте

(x¹y)′ = 3x → x¹y = 3x²/2 + C

Начальное условие

0 = 3/2 + C → C = −1,5

Вычислите

y(3) = (3·3²/2 + (−1,5))/3¹ = 4

Ответ

y(3) = 4

3.Интегралы

Ответ: I = 12

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

Ответ

I = 12

4.Интегралы

Ответ: A = 18

Точки пересечения

0,5x² = 3x → x = 0, x = 6

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x² − 0,1667x³]₀⁶ = 18

Ответ

A = 18

5.Производные

Ответ: f′(2) = 0,8

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x² + 1)

Подставьте

f′(2) = 4/5 = 0,8

Ответ

f′(2) = 0,8

6.Производные

Ответ: x = 3

Производная

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

Решите f′(x) = 0

x = 1 или x = 3

Что есть что

f″(x) = 6x − 12: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 3

Ответ

x = 3

7.Численные методы

Ответ: n = 82

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Оценка второй производной

M = |sin(π/2)| = 1

Выразите n

n² > 8·1/(12·0,0001) = 6667

n > 81,65 → n = 82

Ответ

n = 82

8.Численные методы

Ответ: |E| = 0,05545

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги Эйлера

y₄ = 1,5282

Точное значение

y(0,4) = 1,583649

Глобальная погрешность

|E| = |1,583649 − 1,5282| = 0,05545

График

Ответ

|E| = 0,05545

Уменьшение h вдвое примерно вдвое уменьшает погрешность метода Эйлера.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations