Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 92 °C оставили в комнате при 21 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,07 min⁻¹ найдите температуру T через 27 min.

T₀ = 92 °CT_a = 21 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 27 min

T = °C

2.Дифференциальные уравненияСложная

Решите задачу Коши y′ + 3y/x = x при x > 0, y(1) = 0. Найдите y(3).

y′ + 3y/x = xy(1) = 0

y(3) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ x·sin x dx (x в радианах).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = x² и y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(x), x в радианах. Найдите f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 9x² + 24x + 6. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 9x² + 24x + 6

x =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀² eˣ dx методом Симпсона, n = 2, и сравните с точным значением. Найдите абсолютную погрешность |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Численные методыСложная

Используйте метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) с h = 0,25 для y′ = e^−ty, y(0) = 1, чтобы оценить y₃ ≈ y(0,75).

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0,25

y₃ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: T = 31,73 °C

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Решение закона охлаждения

T(t) = 21 + 71·e^−0,07t

Подставьте t

T(27) = 21 + 71·0,1511 = 31,73 °C

Ответ

T = 31,73 °C

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(3) = 1,793

Интегрирующий множитель

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Интегрируйте

(x³y)′ = x⁴ → x³y = 1x⁵/5 + C

Начальное условие

0 = 1/5 + C → C = −0,2

Вычислите

y(3) = (1·3⁵/5 + (−0,2))/3³ = 1,793

Ответ

y(3) = 1,793

3.Интегралы

Ответ: I = 0,3012

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Ответ

I = 0,3012

4.Интегралы

Ответ: A = 1,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

x² = 2x → x = 0, x = 2

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Ответ

A = 1,333

5.Производные

Ответ: f′(1) = 1,382

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Подставьте

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Ответ

f′(1) = 1,382

6.Производные

Ответ: x = 4

Производная

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 4

Что есть что

f″(x) = 6x − 18: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 4

Ответ

x = 4

7.Численные методы

Ответ: |E| = 0,03167

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Точное значение

I = 6,389056

Метод Симпсона

S = (1/3)·(1 + 4·2,718282 + 7,389056) = 6,420728

Погрешность

|E| = |6,420728 − 6,389056| = 0,03167

Ответ

|E| = 0,03167

Относительная погрешность: 0,4957%.

8.Численные методы

Ответ: y₃ = 1,474

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги метода Хойна

y₁ = 1 + (0,25/2)(1 + 0,731616) = 1,216452

y₂ = 1,216452 + (0,25/2)(0,737778 + 0,496363) = 1,370719

y₃ = 1,370719 + (0,25/2)(0,503909 + 0,325458) = 1,47439

График

y₃ = 1,474

Ответ

y₃ = 1,474

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations