Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Кованую стальную деталь температурой 380 °C оставили остывать в цехе при 26 °C. Через 59 min температура равна 222 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.

T₀ = 380 °CT_a = 26 °CT(59) = 222 °C

k = min⁻¹

2.Дифференциальные уравненияСложная

В баке 200 L чистой воды. Рассол с содержанием соли 0,25 kg на литр поступает со скоростью 5 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Через сколько минут t в баке будет 25 kg соли?

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁⁵ 1/x dx.

f(x) = 1/x[1, 5]

I =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x² и y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(2x² + 5). Найдите f′(−2).

f(x) = ln(2x² + 5)x = −2

f′(−2) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 9x² + 24x + 2. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ + 9x² + 24x + 2

x =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀² x³ dx методом трапеций, n = 2, и сравните с точным значением. Найдите абсолютную погрешность |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Численные методыСложная

Сделайте один шаг классического метода Рунге–Кутты (RK4) с h = 0,1 для y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0. Найдите y₁ ≈ y(0,1).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,1

y₁ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: k = 0,01002 min⁻¹

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Отношение разностей температур

e^−59k = 196/354

Найдите k

k = ln(354/196)/59 = 0,01002 min⁻¹

Ответ

k = 0,01002 min⁻¹

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: t = 27,73 min

Результат

m(t) = 50 + (−50)·e^−t/40

Найдите t

e^−t/40 = (50 − 25)/(50 − 0) = 0,5

t = 40·ln(2) = 27,73 min

Ответ

t = 27,73 min

3.Интегралы

Ответ: I = 1,609

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = ln x

Подставьте пределы

I = (ln 5 − ln 1) = ln 5 = 1,609

Ответ

I = 1,609

4.Интегралы

Ответ: A = 42,67

Точки пересечения

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Ответ

A = 42,67

5.Производные

Ответ: f′(−2) = −0,6154

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

Подставьте

f′(−2) = −8/13 = −0,6154

Ответ

f′(−2) = −0,6154

6.Производные

Ответ: x = −2

Производная

f′(x) = 3x² + 18x + 24 = 3·(x² + 6x + 8)

Решите f′(x) = 0

x = −4 или x = −2

Что есть что

f″(x) = 6x + 18: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6

x = −2

Ответ

x = −2

7.Численные методы

Ответ: |E| = 1

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Точное значение

I = 4

Метод трапеций

T = (1/2)·(0 + 2·1 + 8) = 5

Погрешность

|E| = |5 − 4| = 1

Ответ

|E| = 1

Относительная погрешность: 25%.

8.Численные методы

Ответ: y₁ = 0,1003

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Четыре наклона

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,05, 0,05) = 1,0025

k₃ = f(0,05, 0,050125) = 1,002506

k₄ = f(0,1, 0,100251) = 1,010025

Объедините

y₁ = 0 + (0,1/6)(1 + 2·1,0025 + 2·1,002506 + 1,010025) = 0,1003

Ответ

y₁ = 0,1003

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations