Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 82 °C оставили в комнате при 24 °C. Через 26 min температура равна 36 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.

T₀ = 82 °CT_a = 24 °CT(26) = 36 °C

k = min⁻¹

2.Дифференциальные уравненияСложная

Решите y′ + y = 2e^−2t при y(0) = 1. Найдите y(2).

y′ + y = 2e^−2ty(0) = 1

y(2) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² e^x dx.

f(x) = e^x[0, 2]

I =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x² и y = 3x.

y = 0,5x²y = 3x

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(x² + 4). Найдите f′(−1).

f(x) = ln(x² + 4)x = −1

f′(−1) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 3x² − 9x − 1. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 1

x =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀¹ √(1 + x³) dx методом Симпсона с n = 2 полосами. Укажите S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 2

S =

8.Численные методыСложная

Сделайте один шаг классического метода Рунге–Кутты (RK4) с h = 0,1 для y′ = e^−ty, y(0) = 1. Найдите y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0,1

y₁ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: k = 0,0606 min⁻¹

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Отношение разностей температур

e^−26k = 12/58

Найдите k

k = ln(58/12)/26 = 0,0606 min⁻¹

Ответ

k = 0,0606 min⁻¹

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(2) = 0,3694

Интегрирующий множитель

μ = e^t

(e^ty)′ = 2e^−t

Общее решение

y = 2/(−1)·e^−2t + C·e^−t = −2·e^−2t + C·e^−t

Начальное условие

1 = −2 + C → C = 3

Вычислите

y(2) = −2·0,01832 + 3·0,1353 = 0,3694

Ответ

y(2) = 0,3694

3.Интегралы

Ответ: I = 6,389

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^x/1

Подставьте пределы

I = (e² − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389

Ответ

I = 6,389

4.Интегралы

Ответ: A = 18

Точки пересечения

0,5x² = 3x → x = 0, x = 6

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x² − 0,1667x³]₀⁶ = 18

Ответ

A = 18

5.Производные

Ответ: f′(−1) = −0,4

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Подставьте

f′(−1) = −2/5 = −0,4

Ответ

f′(−1) = −0,4

6.Производные

Ответ: x = 3

Производная

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

Решите f′(x) = 0

x = −1 или x = 3

Что есть что

f″(x) = 6x − 6: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = 3

Ответ

x = 3

7.Численные методы

Ответ: S = 1,109

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Узлы и значения

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,06066 + 1,414214 = 6,656854

Метод Симпсона

S = (0,5/3)·6,656854 = 1,109

Ответ

S = 1,109

У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.

8.Численные методы

Ответ: y₁ = 1,095

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Четыре наклона

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,05, 1,05) = 0,948854

k₃ = f(0,05, 1,047443) = 0,948976

k₄ = f(0,1, 1,094898) = 0,896291

Объедините

y₁ = 1 + (0,1/6)(1 + 2·0,948854 + 2·0,948976 + 0,896291) = 1,095

Ответ

y₁ = 1,095

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations