Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 87 °C оставили в комнате при 24 °C. Через 27 min температура равна 28 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 63 °C?

T₀ = 87 °CT_a = 24 °CT(27) = 28 °CT = 63 °C

t = min

2.Дифференциальные уравненияСложная

В баке 500 L чистой воды. Рассол с содержанием соли 0,2 kg на литр поступает со скоростью 5 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Сколько соли m будет в баке через 120 min?

V = 500 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = x.

y = 2x²y = x

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 6x² + 9x − 4. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 6x² + 9x − 4

x =

7.Численные методыСредняя

Скорость транспортного средства измеряется каждые 5 s (таблица). Оцените пройденный путь s от t = 0 до t = 30 s методом Симпсона.

h = 5 sn = 6

s = m

8.Численные методыСложная

Решите y′ = t − y, y(0) = 0,5 методом Эйлера с шагом h = 0,2 до t = 0,6. Точное решение равно y = t − 1 + (y₀ + 1)e^−t. Найдите глобальную погрешность |E| = |y(0,6) − y₃|.

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,2

|E| =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: t = 4,697 min

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Константа охлаждения

k = ln(63/4)/27 = 0,1021 min⁻¹

Время достижения целевой температуры

t = ln(63/39)/0,1021 = 4,697 min

Ответ

t = 4,697 min

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: m = 69,88 kg

Составьте уравнение

dm/dt = 5·0,2 − (5/500)·m = 1 − 0,01·m

Решите

Интегрирующий множитель равен e^rt/V; решение стремится к равновесному значению c·V.

m(t) = 100 + (−100)·e^−t/100

Подставьте t

m(120) = 100 + (−100)·0,3012 = 69,88 kg

Ответ

m = 69,88 kg

3.Интегралы

Ответ: I = 41,33

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Ответ

I = 41,33

4.Интегралы

Ответ: A = 0,04167

Точки пересечения

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Ответ

A = 0,04167

5.Производные

Ответ: f′(1) = 0,077

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Ответ

f′(1) = 0,077

6.Производные

Ответ: x = 3

Производная

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

Решите f′(x) = 0

x = 1 или x = 3

Что есть что

f″(x) = 6x − 12: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 3

Ответ

x = 3

7.Численные методы

Ответ: s = 291,7 m

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Взвешенная сумма

4 + 4·5 + 2·6 + 4·8 + 2·12 + 4·17 + 15 = 175

Метод Симпсона

s = (5/3)·175 = 291,7 m

Ответ

s = 291,7 m

8.Численные методы

Ответ: |E| = 0,05522

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги Эйлера

y₃ = 0,368

Точное значение

y(0,6) = 0,423217

Глобальная погрешность

|E| = |0,423217 − 0,368| = 0,05522

График

Ответ

|E| = 0,05522

Уменьшение h вдвое примерно вдвое уменьшает погрешность метода Эйлера.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations