Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Банку газировки температурой 6 °C достали из холодильника в комнату при 28 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,07 min⁻¹ найдите температуру T через 17 min.

T₀ = 6 °CT_a = 28 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 17 min

T = °C

2.Дифференциальные уравненияСложная

Решите y′ + 2y = 9e^−t при y(0) = 4. Найдите y(1,5).

y′ + 2y = 9e^−ty(0) = 4

y(1.5) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

4.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 6x и параболой y = 2x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 6xy = 2x²

V =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(2x² + 2). Найдите f′(−1).

f(x) = ln(2x² + 2)x = −1

f′(−1) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 4,5x² + 6x + 1. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ + 4,5x² + 6x + 1

x =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀² eˣ dx методом Симпсона, n = 2, и сравните с точным значением. Найдите абсолютную погрешность |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Численные методыСложная

Сделайте один шаг классического метода Рунге–Кутты (RK4) с h = 0,2 для y′ = cos t − y, y(0) = 2. Найдите y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,2

y₁ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: T = 21,31 °C

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Решение закона охлаждения

T(t) = 28 + (−22)·e^−0,07t

Подставьте t

T(17) = 28 + (−22)·0,3042 = 21,31 °C

Ответ

T = 21,31 °C

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(1.5) = 1,759

Интегрирующий множитель

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 9e^t

Общее решение

y = 9/1·e^−t + C·e^−2t = 9·e^−t + C·e^−2t

Начальное условие

4 = 9 + C → C = −5

Вычислите

y(1,5) = 9·0,2231 + (−5)·0,04979 = 1,759

Ответ

y(1,5) = 1,759

3.Интегралы

Ответ: I = 3,195

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^2x/2

Подставьте пределы

I = (e² − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195

Ответ

I = 3,195

4.Интегралы

Ответ: V = 407,2

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

6x = 2x² → x = 0, x = 3

Метод колец (шайб)

V = π∫₀³ ((6x)² − (2x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129,6 = 407,2

Ответ

V = 407,2

5.Производные

Ответ: f′(−1) = −1

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Подставьте

f′(−1) = −4/4 = −1

Ответ

f′(−1) = −1

6.Производные

Ответ: x = −2

Производная

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

Решите f′(x) = 0

x = −2 или x = −1

Что есть что

f″(x) = 6x + 9: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −2

Ответ

x = −2

7.Численные методы

Ответ: |E| = 0,03167

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Точное значение

I = 6,389056

Метод Симпсона

S = (1/3)·(1 + 4·2,718282 + 7,389056) = 6,420728

Погрешность

|E| = |6,420728 − 6,389056| = 0,03167

Ответ

|E| = 0,03167

Относительная погрешность: 0,4957%.

8.Численные методы

Ответ: y₁ = 1,817

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Четыре наклона

k₁ = f(0, 2) = −1

k₂ = f(0,1, 1,9) = −0,904996

k₃ = f(0,1, 1,9095) = −0,914496

k₄ = f(0,2, 1,817101) = −0,837034

Объедините

y₁ = 2 + (0,2/6)(−1 + 2·−0,904996 + 2·−0,914496 − 0,837034) = 1,817

Ответ

y₁ = 1,817

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations