Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 94 °C оставили в комнате при 18 °C. Через 30 min температура равна 27 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.

T₀ = 94 °CT_a = 18 °CT(30) = 27 °C

k = min⁻¹

2.Дифференциальные уравненияСложная

В баке 400 L чистой воды. Рассол с содержанием соли 0,1 kg на литр поступает со скоростью 5 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Сколько соли m будет в баке через 90 min?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π/2 x·cos x dx (x в радианах).

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

4.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (2x + 3)⁵. Найдите f′(1).

f(x) = (2x + 3)⁵x = 1

f′(1) =

6.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 0,5x² + 5x − 6 в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x² + 5x − 6x = 2

b =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀¹ 1/(1 + x³) dx методом трапеций с n = 3 полосами. Укажите T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 3

T =

8.Численные методыСложная

Сделайте один шаг классического метода Рунге–Кутты (RK4) с h = 0,1 для y′ = cos t − y, y(0) = 2. Найдите y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,1

y₁ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: k = 0,07112 min⁻¹

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Отношение разностей температур

e^−30k = 9/76

Найдите k

k = ln(76/9)/30 = 0,07112 min⁻¹

Ответ

k = 0,07112 min⁻¹

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: m = 27,01 kg

Составьте уравнение

dm/dt = 5·0,1 − (5/400)·m = 0,5 − 0,0125·m

Решите

Интегрирующий множитель равен e^rt/V; решение стремится к равновесному значению c·V.

m(t) = 40 + (−40)·e^−t/80

Подставьте t

m(90) = 40 + (−40)·0,3247 = 27,01 kg

Ответ

m = 27,01 kg

3.Интегралы

Ответ: I = 0,5708

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0,5708

Ответ

I = 0,5708

4.Интегралы

Ответ: I = 12,78

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Ответ

I = 12,78

5.Производные

Ответ: f′(1) = 6250

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(2x + 3)⁴·2

Подставьте

f′(1) = 5·5⁴·2 = 6250

Ответ

f′(1) = 6250

6.Производные

Ответ: b = −8

Точка и наклон

f(2) = 6

f′(x) = x + 5 → f′(2) = 7

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 7·2 = −8

Ответ

b = −8

7.Численные методы

Ответ: T = 0,8286

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Узлы и значения

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,964286 + 2·0,771429 + 0,5 = 4,971429

Метод трапеций

T = (0,3333/2)·4,971429 = 0,8286

Ответ

T = 0,8286

У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.

8.Численные методы

Ответ: y₁ = 1,905

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Четыре наклона

k₁ = f(0, 2) = −1

k₂ = f(0,05, 1,95) = −0,95125

k₃ = f(0,05, 1,952438) = −0,953687

k₄ = f(0,1, 1,904631) = −0,909627

Объедините

y₁ = 2 + (0,1/6)(−1 + 2·−0,95125 + 2·−0,953687 − 0,909627) = 1,905

Ответ

y₁ = 1,905

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations