Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Банку газировки температурой 5 °C достали из холодильника в комнату при 23 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,1 min⁻¹ найдите температуру T через 21 min.

T₀ = 5 °CT_a = 23 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 21 min

T = °C

2.Дифференциальные уравненияСложная

Решите задачу Коши y′ + 3y/x = 4x² при x > 0, y(1) = −1. Найдите y(2).

y′ + 3y/x = 4x²y(1) = −1

y(2) =

3.ИнтегралыСредняя

Область под y = 3x от x = 0 до x = 1 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 3x0 ≤ x ≤ 1

V =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^0,5x. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·e^0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

6.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 0,5x² − 4x − 1 в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x² − 4x − 1x = 1

b =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀² sin(x²) dx методом Симпсона с n = 6 полосами. Укажите S.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 6

S =

8.Численные методыСложная

Используйте метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) с h = 0,25 для y′ = e^−ty, y(0) = 0,5, чтобы оценить y₃ ≈ y(0,75).

y′ = e^−tyy(0) = 0,5h = 0,25

y₃ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: T = 20,8 °C

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Решение закона охлаждения

T(t) = 23 + (−18)·e^−0,1t

Подставьте t

T(21) = 23 + (−18)·0,1225 = 20,8 °C

Ответ

T = 20,8 °C

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(2) = 5,125

Интегрирующий множитель

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Интегрируйте

(x³y)′ = 4x⁵ → x³y = 4x⁶/6 + C

Начальное условие

−1 = 4/6 + C → C = −1,667

Вычислите

y(2) = (4·2⁶/6 + (−1,667))/2³ = 5,125

Ответ

y(2) = 5,125

3.Интегралы

Ответ: V = 9,425

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀¹ 9x² dx

Интегрируйте

V = π·9·1³/3 = 9,425

Ответ

V = 9,425

Проверка: конус с радиусом 3 и высотой 1 имеет (1/3)πr²h = 9,425.

4.Интегралы

Ответ: A = 36

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

5.Производные

Ответ: f′(0.5) = 1,605

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Подставьте

f′(0,5) = 1,284·(1 + 0,25) = 1,605

Ответ

f′(0,5) = 1,605

6.Производные

Ответ: b = −1,5

Точка и наклон

f(1) = −4,5

f′(x) = x − 4 → f′(1) = −3

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4,5 − (−3)·1 = −1,5

Ответ

b = −1,5

7.Численные методы

Ответ: S = 0,8104

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Узлы и значения

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,110883 + 2·0,429956 + 4·0,841471 + 2·0,978656 + 4·0,355842 − 0,756802 = 7,293204

Метод Симпсона

S = (0,3333/3)·7,293204 = 0,8104

Ответ

S = 0,8104

У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.

8.Численные методы

Ответ: y₃ = 1,046

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги метода Хойна

y₁ = 0,5 + (0,25/2)(1 + 0,829029) = 0,728629

y₂ = 0,728629 + (0,25/2)(0,83347 + 0,625942) = 0,911055

y₃ = 0,911055 + (0,25/2)(0,634113 + 0,448347) = 1,046363

График

y₃ = 1,046

Ответ

y₃ = 1,046

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations