Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Решите y″ + 2y′ + y = 0 при y(0) = 5 и y′(0) = 4. Найдите y(1).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(1) =

2.Дифференциальные уравненияСложная

Система подчиняется уравнению y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите y(0,5); углы в радианах.

y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁² 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 2]

I =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x³·e^0,5x. Найдите f′(1,5).

f(x) = x³·e^0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 1,5x² + 5. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 1,5x² + 5

x =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀² √x·e^−x dx методом трапеций с n = 3 полосами. Укажите T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 2]n = 3

T =

8.Численные методыСложная

Решите y′ = −2ty, y(0) = 2 методом Эйлера с шагом h = 0,2 до t = 1. Точное решение равно y = y₀e^−t². Найдите глобальную погрешность |E| = |y(1) − y₅|.

y′ = −2tyy(0) = 2h = 0,2

|E| =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(1) = 5,15

Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = e^rt: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·e^rt (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.

Двойной корень

(r + 1)² = 0 → r = −1

Константы

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 1A → B = 4 + 5 = 9

Вычислите

y(1) = (5 + 9·1)·e⁻¹ = 5,15

Ответ

y(1) = 5,15

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(0.5) = 3,655

Установившееся значение и корни

y_ss = 5, r = −1,5 ± 3j

Константы по начальным значениям

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1,5A + 3B = 0 → B = −2,5

Вычислите

y(0,5) = 5·(1 − e^−0,75(cos 1,5 + 0,5·sin 1,5)) = 3,655

Ответ

y(0,5) = 3,655

3.Интегралы

Ответ: I = 2,773

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 4·ln x

Подставьте пределы

I = 4·(ln 2 − ln 1) = 4·ln 2 = 2,773

Ответ

I = 2,773

4.Интегралы

Ответ: A = 0,3333

Точки пересечения

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Ответ

A = 0,3333

5.Производные

Ответ: f′(1.5) = 17,86

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(3x² + 0,5·x³)

Подставьте

f′(1,5) = 2,117·(6,75 + 1,688) = 17,86

Ответ

f′(1,5) = 17,86

6.Производные

Ответ: x = 1

Производная

f′(x) = 3x² − 3x = 3·(x² − x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x − 3: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −3, f″(1) = 3

x = 1

Ответ

x = 1

7.Численные методы

Ответ: T = 0,5462

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Узлы и значения

h = 0,6667

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,419203 + 2·0,304376 + 0,191393 = 1,638551

Метод трапеций

T = (0,6667/2)·1,638551 = 0,5462

Ответ

T = 0,5462

У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.

8.Численные методы

Ответ: |E| = 0,06301

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги Эйлера

y₅ = 0,798766

Точное значение

y(1) = 0,735759

Глобальная погрешность

|E| = |0,735759 − 0,798766| = 0,06301

График

Ответ

|E| = 0,06301

Уменьшение h вдвое примерно вдвое уменьшает погрешность метода Эйлера.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations