Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 94 °C оставили в комнате при 21 °C. Через 11 min температура равна 41 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 29 °C?

T₀ = 94 °CT_a = 21 °CT(11) = 41 °CT = 29 °C

t = min

2.Дифференциальные уравненияСложная

Решите задачу Коши y′ + 2y/x = 4x² при x > 0, y(1) = 5. Найдите y(3).

y′ + 2y/x = 4x²y(1) = 5

y(3) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₂⁶ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 6]

I =

4.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 2x и параболой y = 0,5x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 2xy = 0,5x²

V =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (−2x + 5)⁵. Найдите f′(−1).

f(x) = (−2x + 5)⁵x = −1

f′(−1) =

6.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² + 2x + 6 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² + 2x + 6x = −2

b =

7.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀¹ sin(x²) dx методом трапеций с n = 2 полосами. Укажите T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 2

T =

8.Численные методыСложная

Используйте метод Эйлера с h = 0,2 для y′ = e^−ty, y(0) = 0, чтобы оценить y₄ ≈ y(0,8).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,2

y₄ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: t = 18,78 min

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Константа охлаждения

k = ln(73/20)/11 = 0,1177 min⁻¹

Время достижения целевой температуры

t = ln(73/8)/0,1177 = 18,78 min

Ответ

t = 18,78 min

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(3) = 22,07

Интегрирующий множитель

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Интегрируйте

(x²y)′ = 4x⁴ → x²y = 4x⁵/5 + C

Начальное условие

5 = 4/5 + C → C = 4,2

Вычислите

y(3) = (4·3⁵/5 + 4,2)/3² = 22,07

Ответ

y(3) = 22,07

3.Интегралы

Ответ: I = 3,296

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 3·ln x

Подставьте пределы

I = 3·(ln 6 − ln 2) = 3·ln 3 = 3,296

Ответ

I = 3,296

4.Интегралы

Ответ: V = 107,2

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

2x = 0,5x² → x = 0, x = 4

Метод колец (шайб)

V = π∫₀⁴ ((2x)² − (0,5x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(4·4³/3 − 0,25·4⁵/5) = π·34,13 = 107,2

Ответ

V = 107,2

5.Производные

Ответ: f′(−1) = −24010

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(−2x + 5)⁴·(−2)

Подставьте

f′(−1) = 5·7⁴·(−2) = −24010

Ответ

f′(−1) = −24010

6.Производные

Ответ: b = −2

Точка и наклон

f(−2) = 10

f′(x) = 4x + 2 → f′(−2) = −6

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − (−6)·(−2) = −2

Ответ

b = −2

7.Численные методы

Ответ: T = 0,3341

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Узлы и значения

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,247404 + 0,841471 = 1,336279

Метод трапеций

T = (0,5/2)·1,336279 = 0,3341

Ответ

T = 0,3341

У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.

8.Численные методы

Ответ: y₄ = 0,7058

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги Эйлера

y₁ = 0 + 0,2·(1) = 0,2

y₂ = 0,2 + 0,2·(0,960789) = 0,392158

y₃ = 0,392158 + 0,2·(0,854821) = 0,563122

y₄ = 0,563122 + 0,2·(0,713286) = 0,705779

График

y₄ = 0,7058

Ответ

y₄ = 0,7058

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations