Дифференциальные уравнения: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

2Тренировочные задачи

1.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 91 °C оставили в комнате при 23 °C. Через 24 min температура равна 56 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 41 °C?

T₀ = 91 °CT_a = 23 °CT(24) = 56 °CT = 41 °C

t = min

2.Дифференциальные уравненияСложная

Решите задачу Коши y′ + 2y/x = 5x при x > 0, y(1) = 3. Найдите y(2).

y′ + 2y/x = 5xy(1) = 3

y(2) =

3.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

4.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 4 − x² и осью x.

y = 4 − x²

A =

5.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (4x − 3)³. Найдите f′(2).

f(x) = (4x − 3)³x = 2

f′(2) =

6.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 6x² + 1. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 6x² + 1

x =

7.Численные методыСредняя

Скорость транспортного средства измеряется каждые 10 s (таблица). Оцените пройденный путь s от t = 0 до t = 60 s методом Симпсона.

h = 10 sn = 6

s = m

8.Численные методыСложная

Используйте метод Эйлера с h = 0,5 для y′ = t + y, y(0) = 0,5, чтобы оценить y₄ ≈ y(2).

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,5

y₄ =

3Растворы

1.Дифференциальные уравнения

Ответ: t = 44,12 min

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Константа охлаждения

k = ln(68/33)/24 = 0,03013 min⁻¹

Время достижения целевой температуры

t = ln(68/18)/0,03013 = 44,12 min

Ответ

t = 44,12 min

2.Дифференциальные уравнения

Ответ: y(2) = 5,438

Интегрирующий множитель

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Интегрируйте

(x²y)′ = 5x³ → x²y = 5x⁴/4 + C

Начальное условие

3 = 5/4 + C → C = 1,75

Вычислите

y(2) = (5·2⁴/4 + 1,75)/2² = 5,438

Ответ

y(2) = 5,438

3.Интегралы

Ответ: I = 0,9502

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^−x/(−1)

Подставьте пределы

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Ответ

I = 0,9502

4.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Нули

4 − x² = 0 → x = ±2

Интегрируйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Ответ

A = 10,67

5.Производные

Ответ: f′(2) = 300

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(4x − 3)²·4

Подставьте

f′(2) = 3·5²·4 = 300

Ответ

f′(2) = 300

6.Производные

Ответ: x = 4

Производная

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 4

Что есть что

f″(x) = 6x − 12: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

Ответ

x = 4

7.Численные методы

Ответ: s = 526,7 m

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Взвешенная сумма

1 + 4·5 + 2·6 + 4·11 + 2·11 + 4·11 + 15 = 158

Метод Симпсона

s = (10/3)·158 = 526,7 m

Ответ

s = 526,7 m

8.Численные методы

Ответ: y₄ = 4,594

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги Эйлера

y₁ = 0,5 + 0,5·(0,5) = 0,75

y₂ = 0,75 + 0,5·(1,25) = 1,375

y₃ = 1,375 + 0,5·(2,375) = 2,5625

y₄ = 2,5625 + 0,5·(4,0625) = 4,59375

График

y₄ = 4,594

Ответ

y₄ = 4,594

Точное значение равно y(2) = 8,083584.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations