Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Какая формула логически эквивалентна a → b? Нажмите на неё.
a → b
1b → a
2¬a → ¬b
3a ∨ ¬b
4¬a ∨ b
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Рассуждение с посылками q → r; ¬q и выводом ¬r неправильно. Нажмите на строку таблицы истинности, которая является контрпримером.
q → r¬q∴ ¬r
1q = 1, r = 1
2q = 1, r = 0
3q = 0, r = 1
4q = 0, r = 0
3.Множества, отношения и функцииСредняя
Опрос 39 человек показал, что ноутбук (L) есть у 18, планшет (T) — у 23, смарт-часы (W) — у 23. L и T есть у 9, L и W — у 10, T и W — у 14, а все три устройства — у 6. Сколько человек входят ровно в два из трёх множеств? Обозначим это число n.
|U| = 39
n =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Функции f и g на {1, 2, 3, 4, 5} заданы таблицами. Найдите (f ∘ f)(2).
Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K7? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.
K7
H =
6.Теория графовСложная
С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.
начало: Aконец: F
d(F) =
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Решите 24x ≡ 1 (mod 41). Укажите решение x, для которого 0 < x < 41.
24x ≡ 1 (mod 41)
x =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
Зашифруйте сообщение m = 320 открытым ключом RSA (n, e) = (611, 13). Найдите шифртекст c.
n = 611e = 13m = 320
c =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ¬a ∨ b
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
a → b равно 0 только при a = 1 и b = 0, поэтому оно совпадает с ¬a ∨ b.
a → b ≡ ¬a ∨ b
Проверка по таблице истинности
a = 1, b = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0: 0 | 1 1 1 0
a = 0, b = 1: 1 | 0 0 0 1
a = 0, b = 0: 1 | 1 1 1 1
Ответ
¬a ∨ b
Столбцы после черты — варианты ответа в показанном порядке.
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: q = 0, r = 1
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Посылки и вывод по строкам
q = 1, r = 1: 1 0 | 0
q = 1, r = 0: 0 0 | 1
q = 0, r = 1: 1 1 | 0
q = 0, r = 0: 1 1 | 1
Контрпример
q = 0, r = 1
Ответ
q = 0, r = 1
Рассуждение такой формы выглядит как правильное правило, но одной строки достаточно, чтобы показать, что это не так.
3.Множества, отношения и функции
Ответ: n = 15
Множества и диаграммы Венна: A ∪ B содержит элементы из A или B (или из обоих), A ∩ B — элементы из обоих, A − B — элементы A, не лежащие в B, а дополнение A′ — всё из U, что не лежит в A. На диаграмме Венна каждое выражение для множеств является объединением областей, поэтому подсчитывайте его по областям. Формула включений и исключений: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| и |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр и пары
L ∩ T ∩ W: 6
L ∩ T только: 9 − 6 = 3
L ∩ W только: 10 − 6 = 4
T ∩ W только: 14 − 6 = 8
Отдельные множества
L только: 18 − 3 − 4 − 6 = 5
T только: 23 − 3 − 8 − 6 = 6
W только: 23 − 4 − 8 − 6 = 5
Ответ
3 + 4 + 8 = 15
Ответ
n = 15
4.Множества, отношения и функции
Ответ: (f ∘ f)(2) = 4
Функции и подсчёт: функция f: A → B ставит каждому элементу A в соответствие ровно один образ в B. f инъективна (взаимно однозначна в одну сторону), если разные элементы имеют разные образы, сюръективна (на), если каждый элемент B является образом, и биективна, если выполнено и то и другое. При |A| = m и |B| = n существует nᵐ функций, n!/(n − m)! инъективных (m ≤ n) и по формуле включений и исключений Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюръективных. |𝒫(A)| = 2ᵐ и |A × B| = m·n.
Внутренняя функция
f(2) = 5
Внешняя функция
f(5) = 4
(f ∘ f)(2) = 4
Ответ
(f ∘ f)(2) = 4
5.Теория графов
Ответ: H = 360
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Посчитайте
H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360
Ответ
H = 360
6.Теория графов
Ответ: d(F) = 28
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстры по шагам
В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.
A (0): B: 14, C: 6
C (6): B: 9
B (9): D: 18, E: 22
D (18): F: 31
E (22): F: 28
F (28)
Кратчайший путь
A → C → B → E → F
d(F) = 28
Ответ
d(F) = 28
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 12
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обратный к 24
r = 41, t = 0
r = 24, q = 1, t = 1
r = 17, q = 1, t = −1
r = 7, q = 2, t = 2
r = 3, q = 2, t = −5
r = 1, q = 3, t = 12
24−1 ≡ 12 (mod 41)
Решите
x ≡ 12·1 = 12 ≡ 12 (mod 41)
проверка: 24·12 = 288 ≡ 1 (mod 41)
Ответ
x = 12
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: c = 255
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.