Дискретная математика: шпаргалка-пакет

Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.

Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.

Функции и подсчёт: функция f: A → B ставит каждому элементу A в соответствие ровно один образ в B. f инъективна (взаимно однозначна в одну сторону), если разные элементы имеют разные образы, сюръективна (на), если каждый элемент B является образом, и биективна, если выполнено и то и другое. При |A| = m и |B| = n существует nᵐ функций, n!/(n − m)! инъективных (m ≤ n) и по формуле включений и исключений Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюръективных. |𝒫(A)| = 2ᵐ и |A × B| = m·n.

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У K_n имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.