Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Какая формула логически эквивалентна (p ∧ r) → q? Нажмите на неё.
(p ∧ r) → q
1p → (r → q)
2(p → q) ∧ (r → q)
3p ∧ (r → q)
4(p → r) → q
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Какое утверждение эквивалентно ¬∃x ∀y R(x, y), если отрицание перенесено полностью внутрь? Нажмите на него.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∃x ∃y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∀x ∀y ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)
3.Множества, отношения и функцииСредняя
Опрос 41 человек показал, что ноутбук (L) есть у 23, планшет (T) — у 30, смарт-часы (W) — у 20. L и T есть у 15, L и W — у 12, T и W — у 11, а все три устройства — у 5. Сколько человек входят ровно в два из трёх множеств? Обозначим это число n.
|U| = 41
n =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Функции f и g на {1, 2, 3, 4, 5} заданы таблицами. Найдите (g ∘ f)(3).
Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.
K4
H =
6.Теория графовСложная
Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.
начало: Aшаг 4
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Найдите обратный к 3 по модулю 41: число x, для которого 0 < x < 41 и 3·x ≡ 1 (mod 41).
a = 3n = 41
3−1 mod 41 =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
В ключе RSA используются простые числа p = 29 и q = 41 и открытый показатель e = 11. Найдите закрытый показатель d (0 < d < φ(n)).
p = 29q = 41e = 11
d =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: p → (r → q)
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
Экспортация: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Обе равны 0 только при a = 1, b = 1 и c = 0.
(p ∧ r) → q ≡ p → (r → q)
Проверка по таблице истинности
p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0
p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 1 0 1 1
p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 0 1
p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 1
p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 1 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 0 0
Ответ
p → (r → q)
Столбцы после черты — варианты ответа в показанном порядке.
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Перенесите отрицание внутрь
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Ответ
∀x ∃y ¬R(x, y)
Остальные варианты либо оставляют какой-то квантор без изменения, либо меняют порядок кванторов, либо неверно отрицают внутреннюю формулу.
3.Множества, отношения и функции
Ответ: n = 23
Множества и диаграммы Венна: A ∪ B содержит элементы из A или B (или из обоих), A ∩ B — элементы из обоих, A − B — элементы A, не лежащие в B, а дополнение A′ — всё из U, что не лежит в A. На диаграмме Венна каждое выражение для множеств является объединением областей, поэтому подсчитывайте его по областям. Формула включений и исключений: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| и |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр и пары
L ∩ T ∩ W: 5
L ∩ T только: 15 − 5 = 10
L ∩ W только: 12 − 5 = 7
T ∩ W только: 11 − 5 = 6
Отдельные множества
L только: 23 − 10 − 7 − 5 = 1
T только: 30 − 10 − 6 − 5 = 9
W только: 20 − 7 − 6 − 5 = 2
Ответ
10 + 7 + 6 = 23
Ответ
n = 23
4.Множества, отношения и функции
Ответ: (g ∘ f)(3) = 5
Функции и подсчёт: функция f: A → B ставит каждому элементу A в соответствие ровно один образ в B. f инъективна (взаимно однозначна в одну сторону), если разные элементы имеют разные образы, сюръективна (на), если каждый элемент B является образом, и биективна, если выполнено и то и другое. При |A| = m и |B| = n существует nᵐ функций, n!/(n − m)! инъективных (m ≤ n) и по формуле включений и исключений Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюръективных. |𝒫(A)| = 2ᵐ и |A × B| = m·n.
Внутренняя функция
f(3) = 4
Внешняя функция
g(4) = 5
(g ∘ f)(3) = 5
Ответ
(g ∘ f)(3) = 5
5.Теория графов
Ответ: H = 3
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Посчитайте
H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3
Ответ
H = 3
6.Теория графов
Ответ: E
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстры по шагам
1. A (0): B: 5
2. B (5): C: 8, D: 17, E: 14
3. C (8)
4. E (14): F: 24
5. D (17): F: 19
6. F (19)
шаг 4
E
Ответ
E
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 3−1 mod 41 = 14
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Расширенный алгоритм Евклида
Каждый остаток r записывается как r ≡ t·3 (mod 41).
r = 41, t = 0
r = 3, q = 13, t = 1
r = 2, q = 1, t = −13
r = 1, q = 2, t = 14
Обратная матрица
1 ≡ 14·3 (mod 41)
x = 14
проверка: 3·14 = 42 = 1·41 + 1
Ответ
3−1 mod 41 = 14
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: d = 611
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.