Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Вы хотите доказать ¬a → b от контрапозиции. Какую импликацию вы доказываете вместо неё? Нажмите на неё.
¬a → b
1¬b → ¬¬a
2¬a ∧ ¬b
3b → ¬a
4¬¬a → ¬b
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
В скольких из 16 строк таблицы истинности ¬((p ∨ (q → ¬r)) ∧ ((¬p ∨ s) ∧ (¬r ∧ q))) истинно? Обозначим это число N.
¬((p ∨ (q → ¬r)) ∧ ((¬p ∨ s) ∧ (¬r ∧ q)))
N =
3.Множества, отношения и функцииСредняя
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 4)} — отношение на {1, 2, 3, 4}. Каково наименьшее число k упорядоченных пар, которые нужно добавить к R, чтобы оно стало симметричным?
Отношение эквивалентности R на {1, …, 10} имеет классы {2, 6, 10}, {1, 3, 8}, {5, 9}, {4, 7}. Сколько упорядоченных пар содержит R? Обозначим это число |R|.
{2, 6, 10}{1, 3, 8}{5, 9}{4, 7}
|R| =
5.Теория графовСредняя
Связный граф имеет 11 вершин и 22 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?
|V| = 11|E| = 22
k =
6.Теория графовСложная
Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в C? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.
M = матрица смежностиL = 2
N =
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Найдите обратный к 14 по модулю 17: число x, для которого 0 < x < 17 и 14·x ≡ 1 (mod 17).
a = 14n = 17
14−1 mod 17 =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
В ключе RSA p = 11, q = 29 и e = 3. Расшифруйте шифртекст c = 256: найдите сообщение m.
p = 11q = 29e = 3c = 256
m =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ¬b → ¬¬a
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Части импликации
a = ¬a, b = b
Контрапозиция
¬b → ¬a = ¬b → ¬¬a
Ответ
¬b → ¬¬a
Контрапозиция эквивалентна исходному утверждению, поэтому её доказательство доказывает и само утверждение.
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: N = 13
Таблицы истинности: у формулы с n различными переменными 2ⁿ строк, по одной для каждой комбинации значений истинности (1 = истина, 0 = ложь). Работайте изнутри наружу и отводите каждой подформуле отдельный столбец. ¬a меняет значение на противоположное; a ∧ b равно 1 только тогда, когда оба равны 1; a ∨ b равно 0 только тогда, когда оба равны 0; a → b равно 0 только при a = 1 и b = 0; a ↔ b равно 1, когда обе части равны.
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
Пары для добавления
{(1, 3), (4, 3)}
Посчитайте
k = 2
Ответ
k = 2
4.Множества, отношения и функции
Ответ: |R| = 26
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
Пары по классам
|R| = 3² + 3² + 2² + 2² = 26
Ответ
|R| = 26
5.Теория графов
Ответ: k = 12
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Рёбра остовного дерева
11 − 1 = 10
Рёбра для удаления
k = 22 − 10 = 12
Ответ
k = 12
6.Теория графов
Ответ: N = 2
Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.
Матрица смежности
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0
Общие соседи
(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2
Ответ
N = 2
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 14−1 mod 17 = 11
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Расширенный алгоритм Евклида
Каждый остаток r записывается как r ≡ t·14 (mod 17).
r = 17, t = 0
r = 14, q = 1, t = 1
r = 3, q = 4, t = −1
r = 2, q = 1, t = 5
r = 1, q = 2, t = −6
Обратная матрица
1 ≡ −6·14 (mod 17)
x = 11
проверка: 14·11 = 154 = 9·17 + 1
Ответ
14−1 mod 17 = 11
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: m = 152
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.